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TP force centrifuge

Ce TP est évalué à l'aide d'un questionnaire moodle.

Objectif : Étudier la force centrifuge dans le cas d’un objet ponctuel en rotation uniforme autour d’un axe fixe.

Présentation du TP

Principe
On étudie un corps supposé ponctuel, de masse \(m\), qui se déplace sur une circonférence à rayon constant et à vitesse angulaire constante. On cherche à mesurer la force centrifuge qui s’exerce sur le corps à l’aide d’un dynamomètre en fonction de trois autres paramètres mesurables: la masse du corps qui tourne, le rayon de rotation et la vitesse angulaire.

Étude
Comme les trois paramètres cités précédemment font varier la force centrifuge, on étudie l’influence de chacun séparément :

  1. Étude de l’influence de la masse du corps, le rayon et la vitesse angulaire étant constants ;
  2. Étude de l’influence du rayon, la masse du corps et la vitesse angulaire étant constants ;
  3. Étude de l’influence de la vitesse angulaire, la masse du corps et le rayon étant constants.

Un peu de théorie

Schéma de principe

Soit un point M de masse \(m\) en rotation uniforme à la vitesse angulaire (= vitesse de rotation) notée \(\omega\), autour d’un axe fixe O\(z\).

Le point H est la projection orthogonale du point M sur l’axe de rotation O\(z\).

La rotation se fait toujours dans le même plan et la distance \(r\) à l’axe est constante.On néglige les frottements: le mouvement de M est donc circulaire uniforme.

image
Point M en rotation uniforme autour d'un axe fixe

Application du principe fondamental de la dynamique (PFD) dans le référentiel du laboratoire

Dans le référentiel du laboratoire (lié à O par exemple), supposé galiléen, le poids \(\overrightarrow{P}\) et la réaction du support \(\overrightarrow{R}\) se compensent, ainsi:

\begin{equation}\sum \overrightarrow{F} = m\, \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_0}\end{equation}

En effet, \(\overrightarrow{F_{ie}}\) est la force d’inertie d’entraînement, c’est une force virtuelle puisqu’elle n’existe que dans un référentiel donné (le référentiel en rotation, lié à M).

Base de Frenet et expression de \(\vec{F_0}\)

La rotation étant uniforme, \(v = cste = r\,\omega\) (avec \(\omega\) la vitesse angulaire et \(r=HM\)) et on peut écrire :

  • \(\overrightarrow{a_t} = \dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}=\overrightarrow{0}\)
  • \(\overrightarrow{a_n} = \dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{n}\)

Ainsi le PFD devient :

\begin{equation}\begin{aligned} \overrightarrow{F_0} = m \dfrac{v^2}{r} \,\overrightarrow{n}= m\,r\,\omega^2 \overrightarrow{n}\\ \Longleftrightarrow \boxed{\overrightarrow{F_0} = - m\, \omega^2 \overrightarrow{HM}}\end{aligned}\end{equation}

Et dans le référentiel tournant?

Dans le référentiel lié à M, le poids et la réaction du support se compensent toujours, mais la force d’inertie d’entraînement vient "s’ajouter" à la force \(\overrightarrow{F_0}\).Ainsi, \(\overrightarrow{F_0}\) et \(\overrightarrow{F_{ie}}\) se compensent et on peut parler d’équilibre dans le référentiel tournant.

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F_{ie}} = m\,\omega^2\,\overrightarrow{HM}}\end{equation}

Nous allons donc mesurer dans ce TP la force d’inertie d’entraînement (appelée aussi force centrifuge) par l’intermédiaire de la force \(\overrightarrow{F_0}\), puisqu’elles sont égales en valeur absolue.

Présentation du matériel et précautions

Le montage

Montage global Dynamomètre Moteur Bras en rotation
image
Montage d'étude de la force centrifuge
  • avant toute rotation, vérifier que l’extrémité du bras en rotation passe bien à travers le faisceau de la porte optique, sans la toucher.
  • vérifier que la courroie reliant le moteur au bras est correctement tendue et positionnée aux bons endroits.
  • vérifier la mise en place du chariot sur le bras et la position du fil sur les différentes poulies entre le chariot et le dynamomètre.

Mesures des différents paramètres

Mesure de la masse du chariot en rotation

Cette masse comprend la masse du chariot seul additionnée de différentes masses marquées.

Mesure du rayon de rotation

On utilisera la règle horizontale située en haut du montage. Pour mesurer le rayon, on ajoute deux distances:

  • la première distance est égale à la différence de positions indiquées par le repère rouge: la première position correspond à l’état "au repos", la deuxième position correspond à l’état "en rotation".
  • la deuxième distance est une distance fixe mesurée entre l’axe de rotation et le centre d’inertie du chariot lorsqu’il est en butée au plus près de l’axe de rotation.

Le réglage du rayon se fait en déplaçant verticalement le dynamomètre ce qui a pour effet de donner plus ou moins de mou au chariot qui peut alors s’avancer sur le bras en rotation.

Mesure de la vitesse angulaire de rotation \(\omega\)

Elle est obtenue à l’aide de la période de rotation mesurée par la porte optique et le chronomètre. On rappelle que \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\). Cette vitesse est réglable grâce au moteur, elle s’exprime en \(\mathrm{rad.s^{-1}}\).

Mesure de la force centrifuge

La mesure se lit directement sur le dynamomètre qu’il faudra mettre à zéro avant toute manipulation: Lorsque le fil n’est pas tendu, qu’il n’y a pas de rotation, le dynamomètre doit indiquer zéro.

Mesures et exploitation

Généralités

Avant chaque mesure, on s’assure de la bonne place de tous les éléments du montage et de la mise à zéro du dynamomètre. On lance la rotation du moteur, on attend quelques tours pour le régime permanent s’établisse, puis on procède à la mesure à proprement parlé. On ne laissera pas trop tourner le moteur dans le même sens (torsion du fil), et on changera régulièrement le sens de rotation du moteur.

TRÈS IMPORTANT
Pour que les résultats soit optimum, il faut utiliser toute l'échelle du dynamomètre (la plus grande force mesurée doit être de 2N à chaque expérience). Donc si on teste l'influence de la masse, on commence par mettre une grande masse sur le chariot ($150\,\mathrm{g}$) et on règle la vitesse du moteur pour que la force mesurée soit de $2\,\mathrm{N}$. Le même principe sera appliqué dans les deux autres expériences.

Enfin, lorsqu’il faut choisir des valeurs de \(m\), \(r\) ou \(\omega\) constantes, ne pas les prendre trop petites ni trop grandes, mais au milieu de l’échelle des valeurs possibles.

Mesure de la force centrifuge en fonction de la masse du chariot

  1. \(\spadesuit\) Choisir une vitesse de rotation adéquate et le rayon de rotation qui place le chariot à mi-course du bras en rotation (ne pas oublier les deux parties de rayon à mesurer). Noter ces valeurs.
  2. Mesurer la force centrifuge pour différentes masses du chariot (réaliser au moins 6 mesures, la première valuer de force vaudra environ 2N avec la plus grande masse sur le chariot). A chaque mesure, il faut s’assurer que la vitesse de rotation est constante (période invariante à 10 millisecondes près), et il faut déplacer le dynamomètre pour donner au rayon de rotation la même valeur. Rassembler les mesures dans un tableau Regressi.
  3. L’incertitude sur la masse sera prise nulle. Evaluer l’incertitude (à un niveau de confiance de 68%) sur la mesure de la force (plage de valeurs acceptables ?) et rentrer ces valeurs sous Regressi.
  4. \(\spadesuit\) Régler le logiciel pour qu’il affiche les ellipses d’incertitudes et la méthode du \(\chi^2\). Tracer sous Regressi l’évolution de la force en fonction de la masse. Modéliser (choisir le modèle adéquat, voir la théorie) la courbe.
  5. \(\spadesuit\) Déduire de la courbe (sa modélisation) la pente expérimentale et son incertitude (le logiciel Régressi la donne à un niveau de confiance de 95%). Les noter et donner l'unité de la pente.
  6. \(\spadesuit\) Evaluer l’incertitude (à un niveau de confiance de 68%) sur la période de rotation du moteur (plage de valeurs acceptables ?) puis sur sa vitesse angulaire, évaluer l’incertitude (à un niveau de confiance de 68%) sur la mesure du rayon (plage de valeurs acceptables?). Calculer la pente théorique (donner son expression, sa valeur et son unité) et son incertitude à un niveau de confiance de 95%.
  7. \(\spadesuit\) Comparer théorie et expérience (intervalles qui se chevauchent ?). Commenter, notamment la valeur des incertitudes.

Mesure de la force centrifuge en fonction du rayon de rotation

  1. \(\spadesuit\) Choisir une vitesse de rotation et une masse du chariot adéquats. Noter ces valeurs.
  2. Mesurer la force centrifuge pour différents rayons de rotation (réaliser au moins 6 mesures).Ne pas oublier que le rayon se modifie en déplaçant verticalement le dynamomètre et que ce rayon contient une partie fixe. Vérifier aussi à chaque mesure que la vitesse de rotation est la même. Rassembler les mesures dans un tableau Regressi.
  3. Evaluer l’incertitude (à un niveau de confiance de 68%) sur la mesure de la force et sur la mesure du rayon (ce sont les mêmes que précédemment). Rentrer ces valeurs sous Regressi.
  4. \(\spadesuit\) Régler le logiciel pour qu’il affiche les ellipses d’incertitudes et la méthode du \(\chi^2\). Tracer l’évolution de la force en fonction du rayon. Modéliser (choisir le modèle adéquat) la courbe.
  5. \(\spadesuit\) Déduire de la courbe (sa modélisation) la pente expérimentale et son incertitude (à 95%). Les noter et donner l'unité de la pente.
  6. \(\spadesuit\) Evaluer l’incertitude (à un niveau de confiance de 68%) sur la période de rotation du moteur puis sur sa vitesse angulaire (même procédé que dans l’expérience précédente), l’incertitude sur la masse sera prise nulle. Calculer la pente théorique (donner son expression, sa valeur et son unité) et son incertitude (à 95%). Les noter.
  7. \(\spadesuit\) Comparer théorie et expérience (intervalles qui se chevauchent ?). Commenter, notamment la valeur des incertitudes (à 95%).

Mesure de la force centrifuge en fonction de la vitesse angulaire de rotation

  1. \(\spadesuit\) Choisir une masse de chariot adéquate et le rayon de rotation qui place le chariot à mi-course du bras en rotation (ne pas oublier les deux parties de rayon à mesurer). Noter ces valeurs.
  2. Mesurer la force centrifuge pour différentes vitesses de rotation (réaliser au moins 6 mesures). A chaque mesure, il faut déplacer le dynamomètre pour donner au rayon de rotation la même valeur.
  3. \(\spadesuit\) Rassembler les mesures dans un tableau Regressi. Ajouter une ligne permettant de calculer la vitesse angulaire de rotation au carré.
  4. Evaluer l’incertitude (à un niveau de confiance de 68%) sur la mesure de la force (la même que précédemment), sur la mesure de la période de rotation pour en déduire celle sur la vitesse angulaire de rotation, même procédé que précédemment. Rentrer ces valeurs sous Regressi.
  5. \(\spadesuit\) Régler le logiciel pour qu’il affiche les ellipses d’incertitudes et la méthode du \(\chi^2\). Tracer l’évolution de la force en fonction de la vitesse de rotation portée au carré. Modéliser (choisir le modèle adéquat) la courbe.
  6. \(\spadesuit\) Déduire de la courbe (sa modélisation) la pente expérimentale et son incertitude (à 95%). Les noter et donner l'unité de la pente.
  7. \(\spadesuit\) L’incertitude sur la masse sera prise nulle. Evaluer l’incertitude sur la mesure du rayon (à 68%, déjà évaluée précédemment). Calculer la pente théorique (donner son expression, sa valeur et son unité) et son incertitude (à 95%). Les noter.
  8. \(\spadesuit\) Comparer théorie et expérience. Commenter, notamment la valeur des incertitudes.

Annexe : Liste de matériel

  • Un moteur alimenté en 220 V sur tige métallique ;
  • Un bras en rotation sur roulement avec chariot mobile (dispositif pédagogique);
  • Une courroie qui reliera le moteur au bras en rotation ;
  • Deux poulies fixées sur tige métallique ;
  • Ensemble de masses marquées s'adaptant sur le chariot du bras en rotation ;
  • Une règle graduée de 1 m ;
  • Un chronomètre relié à une porte optique ;
  • Un dynamomètre circulaire sur tige métallique ;
  • Un tableur-grapheur de type Regressi ;
  • Trois support de type "étau" + trois barres métalliques de grandes longueurs ;
  • Quatre noix.