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TP électrostatique

Dans cette séance vous apprendrez à cartographier le potentiel et le champ électrique produits par des conducteurs électriques sous tension (électrique).

Pour les prérequis, voir par exemple femto-physique.fr/electromagnetisme/.

Notion d’électrostatique

Notion de champ

Un champ est une grandeur scalaire ou vectorielle dont la valeur et/ou l’orientation dépend de l’endroit de l’espace. Deux exemples typiques:

  • Le champ de température est un champ scalaire : à chaque point de l’espace (ou d’une surface) est associée une valeur de température ;
  • Le champ des vents est un champ vectoriel : à chaque point de l’espace (ou d’une surface) est associée une valeur de vent et sa direction.

Un champ peut régner dans un espace sans que l’on s’en rende compte : pour le détecter, on utilise un dispositif qui produit une certaine réponse en présence de ce champ. Par exemple, en présence du champ de pesanteur terrestre, un système masse-ressort vertical s'allonge d'autant plus que le champ de pesanteur est important.

Champ électrique et équipotentielles

Lorsqu’une ou des charges électriques sont immobiles (statiques) dans un espace ou une surface, elles créent un champ électrique \(\overrightarrow{E}\) tout autour d’elle. Ce champ n’est pas mesurable directement mais il a un lien étroit avec le potentiel électrique noté \(V\), qui lui peut se mesurer à l’aide d’un voltmètre. Plus précisément, on ne mesure pas un potentiel, mais une différence de potentiel : une référence a été choisie (le potentiel \(0\,\mathrm{V}\)).

En un point de l’espace, les variations du potentiel \(V\) indiquent l'existence d'un champ électrique \(\overrightarrow{E}\) créé par les charges fixes. On retiendra les propriétés suivantes :

  • Dans un espace à 2 dimensions, l’ensemble des points où le potentiel a la même valeur est une courbe équipotentielle définie par \(V(x,y) = C^{te}\).
  • \(\overrightarrow{E}\) est perpendiculaire à une ligne équipotentielle.
  • Les lignes de champ (tangentes au vecteur champ électrique \(\overrightarrow{E}\)) sont en tout point orthogonales aux lignes équipotentielles quelle que soit la distribution. Ces lignes de champ sont des courbes orientées (dans le sens du champ) contrairement aux courbes équipotentielles. Elles vont dans le sens des potentiels décroissants.
  • Les lignes de symétrie sont définies ainsi : même signe de charge électrique et même forme géométrique des 2 côtés de la ligne de symétrie. Les équipotentielles coupent les lignes de symétrie perpendiculairement.
  • Les lignes d’antisymétrie sont définies ainsi : charge positive d’un côté et négative de l’autre avec la même forme géométrique de chaque côté. Une ligne d'antisymétrie est nécessairement une équipotentielle.
  • Enfin, entre deux équipotentielles voisines séparées d'une distance \(\ell\), le champ électrique vaut \begin{equation} E=\frac{\Delta V}{\ell} \quad\text{en V/m} \label{tp_electrostatique_eq:1} \end{equation}

Dispositif expérimental

Organisation du TP

On se propose de tracer expérimentalement les équipotentielles entre 2 électrodes dans les 2 cas suivants :

  • le doublet électrostatique ;
  • le condensateur cylindrique.

On soumet les deux électrodes des structures à une différence de potentiel de \(10\,\mathrm{V}\), elles se comportent alors comme si elles portaient des charges opposées $+Q$ et $-Q$.

image
Structures électrostatiques étudiées dans ce TP

À préparer :

  1. Déterminer les plans de symétrie et d'anti-symétrie pour ces deux distributions de charge.
  2. Après avoir fait une recherche dans la littérature scientifique, dessiner l'allure des équipotentielles et des lignes de champ.

Description du matériel

Deux panneaux distincts permettent d’étudier deux couples d’électrodes différents :

image
Un exemple de panneau à électrodes du TP
Dipôle électrostatique Condensateur cylindrique Alimentation stabilisée Multimètre Métrix

Les deux montages différents et les deux appareils permettant la mesure
(cliquez pour agrandir)

Sur chaque panneau, la feuille carbonée est fixée par serrage au niveau des électrodes. Les liaisons électriques sur ces électrodes se font à partir des bornes (A et B) placées sur le bord du panneau (les connexions entre électrodes et bornes sont assurées par des fils placés sous le panneau). La borne de la sonde est au bout de la tige métallique (en S).

Principe de mesure

Les conducteurs (électrodes) de géométrie donnée sont au contact de la feuille de papier carboné conducteur de conductivité constante. On établit entre les électrodes une différence de potentiel \(U_0 = 10 \mathrm{V}\) à l’aide d’une alimentation stabilisée. Vérifier précisément la valeur de \(U_0\).

En tout point du papier, il existe alors un champ électrique responsable de la conduction. A l’aide d’une sonde S amenée au contact du papier conducteur, on peut mesurer la différence de potentiel existant entre l’électrode de potentiel nul et un point quelconque S de la surface libre.

Pour mesurer cette différence de potentiel, on utilise un voltmètre: on déplace S sur le plateau en déplaçant 2 barres métalliques et on peut ainsi déterminer les lignes équipotentielles.

Manipulation

Mode opératoire pour le tracé des équipotentielles

On choisit de tracer telle ou telle équipotentielle \(V_i\).On cherchera, par contacts successifs de la sonde avec le papier conducteur, les positions correspondant au potentiel choisi, on se contentera d’une valeur à \(\pm\,0,1\,\mathrm{V}\) près. On recueille les points correspondant au potentiel choisi sur une feuille de papier millimétré (ou sur du papier polaire) : pour cela, la feuille doit être percée de trous correspondants à la géométrie des électrodes.

Pour chaque point :

  • relever la sonde ;
  • placer la feuille ;
  • repérer le point par une marque sur la feuille en indiquant \(V_i\) ;
  • retirer la feuille et choisir un autre point.

Une autre méthode consiste à lire les cordonnées du point grâce aux deux règles graduées présentes sur le dispositif et reporter les valeurs sur le papier millimétré.

Le doublet électrostatique

  1. \(\spadesuit\)Préparer une feuille de papier millimétré qui s'adapte bien à la géométrie du doublet. Représenter, de deux couleurs différentes, les lignes de symétrie et d’antisymétrie.
  1. \(\spadesuit\) Représenter sur le papier millimétré les équipotentielles correspondant à 6 V, 7 V et 8 V.
  2. \(\spadesuit\) Dessiner quelques vecteurs \(\overrightarrow{E}\) et construire l’allure de quelques lignes de champ.

Le dipôle est en fait constitué de deux petits cylindres conducteurs de hauteur \(h\) et de rayon \(a\). Le système se comporte comme si les deux cylindres portaient des charges opposées. Théoriquement, on prévoit que le potentiel créé par 2 cylindres portées à une différence de potentiel \(U_0\), s'écrit \[V_i(\text{M}) = \dfrac{q}{2\pi \epsilon_0 h} \ln \dfrac{r_2}{r_1} + \dfrac{U_0}{2} \label{Vi}\] avec \(\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^{9}\, \mathrm{SI}\).

image
Dipôle électrostatique et équipotentielle
  1. \(\spadesuit\) Choisir une des trois équipotentielles tracées puis collecter les valeurs de \(r_1\) et \(r_2\) pour 5 points situés sur l'équipotentielle choisie. Remplir un tableau faisant apparaître \(r_1\), \(r_2\) puis créer les grandeurs \(\ln r_1\) et \(\ln r_2\). Attention à bien respecter la définition de \(r_1\) et \(r_2\) du schéma.
  2. \(\spadesuit\) Porter \(\ln r_2\) en fonction de \(\ln r_1\). À partir de la formule théorique choisir un modèle à ajuster à vos mesures. En déduire le rapport \(\dfrac{q}{h}\).

Théoriquement, la charge \(q\) est proportionnelle à la tension \(U_0\). On a \[q=CU_0\] où \(C\) désigne la capacité électrique du condensateur formé par les deux électrodes. \(C\) s'exprime en Farad (en hommage à Michael Faraday). On prévoit théoriquement que \begin{equation} \dfrac{C}{h} = \dfrac{\pi \epsilon_0}{\ln(d/a)} \label{tp_electrostatique_eq:2} \end{equation}

  1. \(\spadesuit\) Calculer la valeur expérimentale de \(C/h\) puis comparer avec la valeur théorique. Quel est l'écart relatif théorie/expérience ? Comment expliquer cet écart d'après vous ?

Ne pas oublier d'imprimer les courbes correctement annotées

Condensateur cylindrique

Attention, il faut réaliser le circuit de telle façon que le pôle + soit au centre du condensateur : le vérifier avant toute mesure.

  1. \(\spadesuit\) Préparer une feuille de papier millimétrée qui s'adapte bien à la géométrie du condensateur cylindrique. Représenter, de deux couleurs différentes, les lignes de symétrie et d’antisymétrie.
  2. \(\spadesuit\) Représenter les équipotentielles correspondant à 3 V et 7 V à l'intérieur du condensateur.
  3. \(\spadesuit\) Représenter quelques champs électriques et quelques lignes de champ.
  4. \(\spadesuit\) On appelle \(r\) la distance au centre du condensateur. Mesurer les valeurs de potentiels le long d’un rayon du condensateur, entre \(r=3\,\mathrm{cm}\) et \(r=15\,\mathrm{cm}\). Consigner ces valeurs dans un tableau Regressi

Théoriquement, on prévoit que le potentiel qui règne entre les armatures vérifie la loi \[ V=-\dfrac{C\,U_0}{2\pi \epsilon_0\,h}\ln r + C^{te} \] avec \(C\) la capacité du condensateur. On montre également que \begin{equation} \dfrac{C}{h} = \dfrac{2 \pi \epsilon_0}{\ln(r_2/r_1)} \label{tp_electrostatique_eq:3} \end{equation} où \(r_1\) est le rayon du petit cylindre et \(r_2\) celui de l’intérieur du grand cylindre.

  1. \(\spadesuit\) Créer dans la tableau la grandeur \(\ln r\) puis porter \(V\) en fonction de \(\ln r\).
  2. \(\spadesuit\) Proposer une modélisation puis déterminer \(U_\text{0,exp}\) en extrapolant jusqu'à \(r=2\,\mathrm{cm}\). Confronter cette valeur avec la valeur indiquée par le voltmètre. Discuter.
  3. \(\spadesuit\) À l'aide de la modélisation déterminer le rapport \(\dfrac{CU_0}{2\pi \epsilon_0\,h}\) puis le rapport \(C/h\) (utiliser la valeur expérimentale de \(U_0\)). Confronter avec la valeur donnée par la relation \eqref{tp_electrostatique_eq:3}.

Ne pas oublier d'imprimer les courbes correctement annotées

★★★

Annexe : liste de matériel

  • Deux panneaux d'électrostatique : doublet et condensateur cylindrique fixés sur du papier Canson mi-teintes noir, 160 g/cm2 ;
  • Un multimètre en position voltmètre ;
  • Une alimentation stabilisée ;
  • Feuilles de papier millimétré A3 classiques ;
  • Feuilles de papier millimétré A3 polaires ;
  • Un ordinateur muni du logiciel Régressi.