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TP pendules

Objectifs :

  • Étudier les oscillations libres et forcées d’un pendule élastique (ressort) ;
  • Étudier les oscillations libres non amorties d’un pendule simple ;
  • Mesurer l’intensité de la pesanteur à l’aide d’un pendule simple ;
  • Vérifier expérimentalement la formule de Borda (pendule simple non idéal).

Théorie du pendule élastique : mouvement de la masse M dans différents cas

Oscillations libres non amorties

Equation différentielle du mouvement (cliquez pour afficher plus)

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Force de tension et allongement d'un ressort

Ici, l’allongement du ressort, noté \(x\), est calculé par rapport à la position d’équilibre. Ainsi, on a \(x=\ell-\ell_{éq}\).

Contrairement au cas où le ressort est horizontal, la force de rappel du ressort ne s’écrit pas :
\(\overrightarrow{T} = - k\,(\ell-\ell_{éq}) \, \overrightarrow{u_x}= - k\,x\, \overrightarrow{u_x}\).

En effet dans le cas du ressort vertical, si \(x=0\), \(\overrightarrow{T} \neq \overrightarrow{0}\), puisque le système est dans sa position d’équilibre avec un ressort étiré du fait du poids de la masse m.

Donc pour le ressort vertical :

\(\overrightarrow{T}=- k\,(\ell-\ell_0)\,\overrightarrow{u_x}\)
On rapelle que le coefficient $k$ est la constante de raideur du ressort exprimée en $\mathrm{N.m^{-1}}$.

Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique à l’équilibre et hors équilibre :

  • A l’équilibre :
    \begin{equation}\begin{aligned} m\,\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{T_{éq}} &= m\,g \overrightarrow{u_x} - k\,(\ell_{éq}-\ell_0) \overrightarrow{u_x}\\ \Longleftrightarrow m\,g - k\,(\ell_{éq}-\ell_0) &= 0 \end{aligned}\label{eq}\end{equation}
  • Hors équilibre :
    \begin{equation}\begin{aligned} m\,\overrightarrow{a} &= m\,g\,\overrightarrow{u_x} - k\,(\ell-\ell_0) \overrightarrow{u_x}\\ \Longleftrightarrow m\,\overset{\centerdot\centerdot}{x}&=m\,g - k\,(x+\ell_{éq}-\ell_0) \text{ car $\ell=x+\ell_{éq}$}\\ \Longleftrightarrow m\,\overset{\centerdot\centerdot}{x}&=m\,g - k\,x - k(\ell_{éq}-\ell_0)\end{aligned}\end{equation}
    Or d’après l’équation \eqref{eq}, \(m\,g - k\,(\ell_{éq}-\ell_0) = 0\) d’où:

\begin{equation}\boxed{\overset{\centerdot\centerdot}{x} +\dfrac{k}{m}x = 0}\end{equation}

Solution

Ce type d’équation différentielle est bien connu, sa solution est de la forme :

\begin{equation}\boxed{x(t) = A \, \cos (\omega_0 \, t + \phi) }\end{equation}

Avec \(\omega_0\) la pulsation propre (exprimée en \(\mathrm{rad.s^{-1}}\)) des oscillations d’expression \(\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}\) avec $k$ la constante de raideur du ressort exprimée en $\mathrm{N.m^{-1}}$

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Oscillations périodiques

Il y a mouvement d’oscillations non amorties à la pulsation \(\omega_0\). Ainsi, on peut également définir la période (en s) et la fréquence (en Hz) des oscillations :

\begin{equation}\boxed{T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \, \sqrt{\dfrac{m}{k}}} \hspace{2cm} \boxed{f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{T_0} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}}\end{equation}

Oscillations libres faiblement amorties

Equation différentielle

Dans ce cas, on doit ajouter au bilan des forces une force de frottement fluide d’expression \(\overrightarrow{f}=-\alpha \overrightarrow{v}\).

L’équation différentielle obtenue dans ce cas est :

\begin{equation}\overset{\centerdot\centerdot}{x} +\dfrac{\alpha}{m} \overset{\centerdot}{x}+\dfrac{k}{m}x = 0\end{equation}

On pose souvent \(\dfrac{\alpha}{m}=\dfrac{1}{\tau}\) où \(\tau\) est appelée constante de relaxation ou constante de temps du système (comme en électricité). On pourra aussi rencontrer un facteur d’amortissement \(\lambda\) tel que \(\dfrac{\alpha}{m} = 2\,\lambda\).

L’équation différentielle devient donc :

\begin{equation}\boxed{\overset{\centerdot\centerdot}{x} +\dfrac{1}{\tau} \overset{\centerdot}{x}+\omega_0^2\,x = 0} \qquad \text{ou} \qquad \boxed{\overset{\centerdot\centerdot}{x} +2\,\lambda\, \overset{\centerdot}{x}+\omega_0^2\,x = 0}\end{equation}

Solution

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Oscillations pseudo-périodiques

Cette équation différentielle est la même que celle rencontrée en électrocinétique pour les oscillations du circuit RLC série.

On sait alors que trois régimes sont possibles selon l’amortissement du système :

  • Un régime pseudo-périodique si l’amortissement est faible ;
  • Un régime apériodique si l’amortissement est fort ;
  • Un régime critique entre les deux.

Si on considère un pendule réel qui oscille librement dans l’air, le régime est le plus souvent pseudo-périodique.

La solution de l’équation différentielle est :

\begin{equation}\boxed{x(t) = A e^{-\lambda\,t} \cos (\omega t + \phi)}\end{equation}

avec \(\omega\) la pseudo-pulsation des oscillations dont l’expression est \(\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}\).

On définit aussi la pseudo-période des oscillations :

\begin{equation}\boxed{T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}}\end{equation}


A préparer
La pseudo-période est-elle plus petite ou plus grande que la période propre des oscillations du pendule? Prendre des exemples numériques (chosir un $\omega_0$ et plusieurs $\lambda$) pour illustrer la réponse.


La pseudo-période des oscillations est très proche de la période propre des oscillations pour l’oscillateur idéal non amorti.

Dans ce TP, on considèrera que \(T = T_0\).

Oscillations forcées

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Montage permettant l'étude des oscillations forcées

Imaginons le pendule relié à un dispositif permettant de soumettre l’extrémité du ressort à une force de traction sinusoïdale du type \(F_t =F \cos (\omega \, t)\).

La masse M plonge dans un liquide pour introduire du frottement fluide.

Après un régime transitoire assez bref (car le frottement n’est pas négligeable), le moteur impose à la masse M des oscillations à la pulsation \(\omega\) (régime permanent).

Résonance

De plus, si la période d’excitation du moteur est proche de la période propre du pendule, celui-ci entre en résonance : l’amplitude des oscillations devient importante.
On a alors \(T_{\mathrm{moteur}} \simeq T_{\mathrm{oscillateur}} \simeq T_{0_{\mathrm{oscillateur}}}\).


Etude expérimentale du régime libre

Dispositif expérimental

Oscillations solide-ressort en régime libre Oscilloscope numérique Alimentation stabilisée

Oscillations solide-ressort en régime libre : montage complet, oscilloscope numérique et alimentation stabilisée
(cliquez pour agrandir)

Pour enregistrer le mouvement mécanique de l’oscillateur, il faut avoir recours à un transducteur ; ici, il est composé d’un ensemble "solution aqueuse+courant": la variation de la résistance d’une colonne de solution aqueuse nous permet d’enregistrer le mouvement de la masse M.

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Enregistrement des oscillations libres

Un transducteur est un dispositif qui permet de transformer un type d’énergie en un autre type d’énergie.

On réalise alors le montage ci-contre :

On impose une tension constante \(U_0\) entre la surface (A) et le fond (B) de la solution; on mesure la tension via un oscilloscope entre le point M’ (équivalent au point M car le ressort à une résistance nulle) et la masse (point B).

Lorsque la masse M va osciller, la tension va varier : plus M se rapproche de B plus la tension mesurée est faible est inversement, plus M se rapproche de A, plus la tension mesurée sera grande.

Remuer le contenu de l'éprouvette avec un des fils électriques rigides. Effectuer ce montage. La tension imposée à la colonne de liquide sera réglée à \(24\,\mathrm{V}\).

Manipulation

Enregistrement des oscillations libres du pendule élastique avec un oscilloscope analogique Utilisation de l'oscilloscope numérique

Enregistrement des oscillations libres du pendule élastique avec un oscilloscope analogique et utilisation d'un oscilloscope numérique
(cliquez pour agrandir)

L'intérêt de l'oscilloscope numérique réside dans le fait qu'il est capable d'enregistrer des phénomènes lents, telles que ces oscillations du pendule élastique.

  • Après avoir vérifier que le zéro de la voie CH1 a été réglé (avec le mode GND), régler, en mode AC, la sensibilité verticale à $100\,\mathrm{mV/div}$.
  • Régler la base de temps à $500\,\mathrm{ms/div}$.
  • Etirer ou compresser le ressort du système et le libérer. Observer les oscillations s'afficher sur l'écran de l'oscilloscope.
  • Recommencer plusieurs fois l'opération jusqu'à un enregistrement de qualité.
  • Appuyer alors sur la touche RUN/STOP pour figer l'enregistrement.

Exploitation

  1. \(\spadesuit\) Mesurer la pseudo-période T à l’aide de deux méthodes :
    • En utilisant le mode automatique ou les curseurs de l’oscilloscope (soyez autonome pour trouver et utiliser ces différents fonctionnalités) ;
    • En utilisant la courbe capturée et imprimée (visionnez la vidéo de droite ci-dessus : manipulons l'oscilloscope numérique).
    Dans chaque cas, expliquer consciencieusement le protocole de mesure.

  2. \(\spadesuit\) En déduire la constante de raideur \(k\) du ressort dans les deux cas. Calculer un écart relatif entre les deux mesures. Commenter ces résultats.

Etude expérimentale du régime forcé

Dispositif expérimental

On ajoute moteur et poulie au dispositif expérimental :

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Enregistrement des oscillations forcées

Faire le montage de façon soignée : le ressort ne doit pas trempé dans la solution, la masse ne doit pas taper le fond de l’éprouvette, l’ensemble ne doit pas toucher les fils ni les bords de l’éprouvette.

Pour lire la fréquence imposée par le moteur, on peut utiliser l’indication du boîtier moteur ou lire celle-ci à l’oscilloscope. Les réglages de celui-ci seront les mêmes que précédemment.

Manipulation

Résonance du pendule élastique Moteur

Résonance du pendule élastique obtenue à l'aide d'un moteur
(cliquez pour agrandir)

Modifier la fréquence du moteur pour trouver la fréquence de résonance d’élongation : observer directement les oscillations ou bien chercher le maximum des amplitudes sur l’oscilloscope.

\(\spadesuit\) En déduire la période de résonance \(T_r\) ; la comparer à la période propre \(T_0\) (égale à la pseudo-période quand les oscillations sont peu amorties) et conclure (relire le paragraphe 1.3 de ce TP).

Théorie du pendule simple

Détermination de l’équation différentielle générale

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Forces s'exerçant sur le pendule simple et base de projection

Le pendule simple étudié est constitué :

  • d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur \(\ell\) ;
  • d’une masse M ponctuelle accrochée à l'extrémité du fil.

L’amplitude des oscillations est repérée par l’angle \(\theta\) que fait le fil avec la position verticale.

La position d’équilibre correspond à \(\theta =0\). On écarte la masse de sa position d’équilibre d’un angle \(\theta_0\) et on la lâche sans vitesse initiale.

On cherche l’équation différentielle vérifiée par \(\theta(t)\), seul degré de liberté du système.

Il s’agit d’un problème de mécanique, on définit les bases :

  • Référentiel : Laboratoire supposé galiléen ;
  • Système : masse M ;
  • Bilan des forces : Poids \(\overrightarrow{P}\), tension du fil \(\overrightarrow{T}\) ;
  • PFD :
    \begin{equation}\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\,\overrightarrow{a}\end{equation}
  • On projette cette relation sur la base mobile constituée d’un vecteur tangentiel \(\overrightarrow{\tau}\) dirigé dans le sens du mouvement et d’un vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) dirigé vers le point de suspension du pendule ($\overrightarrow{\tau}$ et $\overrightarrow{n}$ constitue la base de Frenet):
    \begin{align} &\text{Sur} \overrightarrow{\tau} \text{: } m\,\ell\,\overset{\centerdot\centerdot}{\theta} = - m\,g\,\sin \theta \label{equadiff} \\ &\text{Sur} \overrightarrow{n} \text{: } m\,\ell\,\overset{\centerdot}{\theta}^2 = T - m\,g\,\cos \theta \label{tension}\end{align}

L’équation \eqref{tension} nous permet d’obtenir la tension du fil tandis que l’équation \eqref{equadiff} nous donne l’équation différentielle du mouvement :

\begin{equation}\boxed{\overset{\centerdot\centerdot}{\theta} + \dfrac{g}{\ell}\, \sin \theta = 0}\label{equadiffcomplete}\end{equation}

Cette équation différentielle n’est pas linéaire du fait de l'apparition de la fonction sinus.

Cas de l’oscillateur linéaire

Pour des petits angles d’oscillations, on assimile \(\sin \theta\) à \(\theta\). L’équation différentielle devient alors, en posant \(\omega_0^2 = \dfrac{g}{\ell}\):

\begin{equation}\boxed{\overset{\centerdot\centerdot}{\theta} + \omega_0^2\, \theta = 0}\end{equation}

Cette équation est linéaire et admet une solution du type \(\theta(t) = \theta_0 \, \cos(\omega_0\, t + \phi)\) où \(\theta_0\) et \(\phi\) sont des constantes déterminées à l’aide des conditions initiales.

Les oscillations sont donc périodiques de période propre \(T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}\) ou de fréquence propre \(f_0 = \dfrac{1}{T_0} = 2\pi\,\omega_0\) ; \(\omega_0\) étant la pulsation propre des oscillations.

Ainsi le graphe \(\theta(t)\) est une sinusoïde pure, on parle d’oscillateur harmonique.

Dans la pratique, les oscillations sont légèrement amorties par les frottements de l’air, mais nous considérons ceux-ci comme négligeables.

Cas des grands angles

Même sans frottement, la solution de l’équation \eqref{equadiffcomplete} est complexe, les oscillations ne sont plus sinusoïdales.

Pour des amplitudes ne dépassant pas les \(60^{\circ}\) (\(\theta_0 < 60^{\circ}\)), on peut utiliser la formule de Borda qui donne la période des oscillations :

\begin{equation}\boxed{T = T_0 \left(1 + \dfrac{\theta_0^2}{16}\right)} \label{borda}\end{equation}

\(\theta_0\) est exprimé en radians.

Cette formule est obtenue en utilisant un développement limité (une approximation polynomiale) de la fonction sinus.

Etude expérimentale

Cette partie demande d’être très précautionneux pour obtenir de bons résultats

Dispositif expérimental

Le pendule est constitué par une masse suspendue à un grand fil. Une barrière chronométrique est disposée à l’aplomb du pendule lorsque celui-ci est à l’équilibre. Un carton gradué permettra de repérer l’angle initial \(\theta_0\) des oscillations.

Attention, le barrière chronométrique permet de connaître la valeur d’une demie période, car ce chronomètre se déclenche au premier passage et s’arrête au deuxième passage au niveau du faisceau.

Deux réglages importants :

  • pour une meilleure précision, le faisceau IR de la barrière optique doit être coupé par le fil et non la masse M du pendule ;
  • ATTENTION, le réglage de la position de la barrière chronométrique au niveau de la position d’équilibre du pendule est capital. Aussi pour palier à un léger biais, on mesurera deux fois la demie période : en écartant initialement le pendule à droite de la barrière, puis en l’écartant à gauche. La mesure considérée sera la moyenne de ces deux temps.

1ère manipulation : mesure de g


A préparer
Nous allons ci-dessous faire une étude statistique pour connaître l'incertitude sur la mesure de $T$. Outre l'utilisation d'un logiciel (ci-dessous Regressi), il convient de savoir effectuer ces calculs à la main.
Voici une série de mesures obtenue pour $T$ :

2,832 ; 2,815 ; 2,863 ; 2,859 ; 2,842

Effectuer le traitement statistique (incertitude de type A à l'aide de la méthode de Student, voir formulaire) et donner la valeur de l'incertitude à 95% sur la mesure de $T$.


  1. \(\spadesuit\) Noter la longueur du pendule indiquée sur la paillasse ;
  2. \(\spadesuit\) Réaliser 5 mesures de demi-période de part et d'autre de la barrière chronométrique (10 mesures en tout) avec un angle initial de 2,5$^{\circ}$. On obtiendra alors 5 mesures de période $T$ en effectuant $T_{\frac{1}{2}\,\text{droite}} + T_{\frac{1}{2}\,\text{gauche}}$.
  3. Ouvrir le logiciel Regressi et créer un nouveau document de travail (Fichier > Nouveau > Clavier). Puis rentrer vos valeurs de période T.
  4. Se rendre dans le menu Statistique puis dans l'onglet Tableau : la ligne "moyenne" donne la valeur de $T_0$ que l'on retiendra et on lit alors directement l'incertitude à 95% sur cette mesure de $T_0$ au niveau de la ligne "U(m,95%)".
  5. On donne l'incertitude à 68% sur la mesure de la longueur : \(\sigma_{\ell} = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\).
    \(\spadesuit\) A partir des deux questions précédentes, déterminer une valeur du champ de pesanteur \(g\) ainsi que l’incertitude à 95% sur cette mesure (\(\Delta_g\)).
  6. \(\spadesuit\) Connaissant la valeur théorique de ce champ à Rennes (\(g=9,81\,\mathrm{m.s^{-2}}\)), conclure.

2ème manipulation : courbe \(T=f(\theta_0^2)\)

Ici, nous testons l’évolution de la période en fonction de l’angle initial des oscillations, on notera la période \(T\).

  1. \(\spadesuit\) Pour différentes valeurs de \(\theta_0\), de 2,5\(^\circ\) en 2,5\(^\circ\) et jusqu’à 25\(^\circ\), mesurer la demi-période des oscillations (deux mesures à chaque fois, à droite et à gauche de la barrière) comme précédemment. Rentrer les valeurs dans un tableau Regressi.
  2. Renseigner l'incertitude à 68% sur \(\frac{T}{2}\) (à partir de $\sigma_{T_0}$ de la manipulation précédente). Rentrer également l’incertitude sur \(\theta_0\) qui est donnée : \(\sigma(\theta_0) = 0,5^{\circ}\).
  3. Se servir du logiciel pour calculer \(\theta_0\) en radians, puis \(\theta_0^2\) ainsi que \(T\).
  4. Tracer sous Regressi la courbe \(T=f(\theta_0^2)\) avec \(\theta_0\) en radians. Faire apparaître les ellipses d’incertitudes, utiliser la méthode du \(\chi^2\). Ajuster judicieusement l’échelle des ordonnées manuellement.
  5. Modéliser cette courbe en utilisant la formule de Borda équation $\eqref{borda}$ : pour cela, on n’utilise pas un modèle prédéfini, mais on rentre directement la formule ; \(a\) sera utilisée pour la pente (c'est à dire pour désigner $T_0$), et on veillera également à utiliser les bons noms de paramètres (ceux que l’on a donnés au logiciel).
  6. \(\spadesuit\) Cette formule est-elle vérifiée pour les petits angles testés ? expliquer.
    \(\spadesuit\) Déduire de la modélisation une valeur de la période propre \(T_0\) du pendule et son incertitude. Comparer avec celle trouvée à la question 5.2.3. Commenter.

Annexe : liste de matériel

  • Un support avec ensemble de tiges métalliques ;
  • Un ressort + une tige métallique souple + une masse ;
  • Une grande éprouvette contenant de l'eau du robinet ;
  • Un ensemble de câble électrique rigide + deux grosses pinces crocodiles ;
  • Une alimentation 0-24V ;
  • Un oscilloscope metrix OX8020 ;
  • Une poulie ;
  • Un moteur à fréquence de rotation variable munie d'une roue avec trou de fixation excentré.
  • Un pendule simple de grande taille ;
  • Une porte optique chronomètre + son alimentation électrique ;
  • Un rapporteur géant ;
  • Un ordinateur muni du logiciel Régressi.