TP : mesure du facteur \(e/m\) de l'électron

Rappels théoriques

Force de Lorentz

Le champ magnétique est défini à partir de la force de déflexion que ressent une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique.

Cette force présente deux propriétés importantes :

• elle est constamment perpendiculaire à la vitesse ;
• elle ne fournit aucun travail. Ainsi, d'après le théorème de l'énergie cinétique, une particule soumise uniquement à la force magnétique garde la même vitesse scalaire.

Champ magnétique créé par une bobine de Helmholtz

Pour obtenir un champ magnétique uniforme, on utilise des bobines d’Helmholtz, du nom d’Hermann Ludwig von Helmholtz. Il s'agit simplement d'un dispositif composé de deux bobines circulaires de rayon $R$ et constituées de $N$ spires, et que l'on place l’une en face de l’autre séparées d'une distance égale à $R$. Quand les bobines sont parcourues par un courant d'intensité $I$, le champ magnétique entre les bobines est sensiblement uniforme et vaut \begin{equation} \boxed{\displaystyle B=9,0.10^{-7}\frac{NI}{R}} \label{eq:TPe/mChampMagnetique} \end{equation}

Trajectoire d'un électron dans un champ magnétique uniforme

Considérons un tube de Crookes dans lequel on produit un faisceau d'électrons de charge $-e$ et de vitesse $\overrightarrow{v}$. Supposons que ces électrons pénètrent dans une région où règne un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B}$ (pour des particules élémentaires, la pesanteur est négligeable devant la force électromagnétique) perpendiculaire au vecteur vitesse. La vitesse restant constante, l'accélération est nécessairement normale à la trajectoire. Par ailleurs, la force et la vitesse étant perpendiculaire au champ magnétique le mouvement s'effectue dans un plan perpendiculaire au champ magnétique. Or, d'après la formule de Frenet on a \[a=\frac{v^{2}}{\rho}\] avec $\rho$ le rayon de courbure. La seconde loi de Newton donne donc : \[e\,v\,B=m\frac{v^{2}}{\rho}\quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{mv}{eB}\] Ce rayon de courbure est constant si le champ magnétique est uniforme : la trajectoire est donc un cercle de diamètre \begin{equation} \boxed{\displaystyle \phi=2\rho=\frac{2\,mv}{e\,B}} \label{eq:TPe/mRayon} \end{equation}

Ainsi, mesurer le diamètre de la trajectoire permet de déduire le rapport $e/m$ si l'on connait le champ magnétique et la vitesse des électrons.

Accélération des électrons

Le faisceau d'électrons est produit par un canon à électrons. Ce dernier est constitué de deux éléments.

1. Une cathode émissive qui, chauffée par effet joule, produit des électrons libres : c'est le phénomène d'émission thermoélectronique. Cette cathode est au potentiel $V_{\mathrm{c}}$.
2. Une anode conique au potentiel $V_{\mathrm{a}}>V_{\mathrm{c}}$ dont le rôle est d'accélérer les électrons libres.

D’après le théorème de l’énergie cinétique, l’énergie cinétique $E_{\mathrm{c}}$ acquise par un électron sortant du canon à électron est donnée par \[\Delta E_{\mathrm{c}}=E_{\mathrm{p,i}}-E_{\mathrm{p,f}}=-eV_{\mathrm{c}}+eV_{\mathrm{a}}=e\,U\] où \(U\) est la tension entre l'anode et la cathode. Finalement, \begin{equation} \boxed{\displaystyle v=\sqrt{\frac{2e\,U}{m}}} \label{eq:TPe/mVitesse} \end{equation}

Manipulation

Dispositif expérimental

On utilise le dispositif représenté sur la figure ci-dessus. Il contient une ampoule sphérique remplie d'un gaz à basse pression ($\simeq$ 1 Pa). Cette ampoule est entourée par deux bobines de Helmholtz dont les caractéristiques sont : \[ R=15\,\mathrm{cm} \quad\text{et}\quad N=130\;\text{spires}\] Ces bobines sont alimentées par une alimentation stabilisée dont l'intensité $I$ ne devra pas dépasser 1,5 A.

À l'intérieur de l'ampoule on trouve un canon à électrons composé de trois éléments :

1. Une cathode émissive alimentée par une source alternative de tension efficace 6,3 V.
2. Une anode conique placée sous tension continue $U$ à l'aide d'une alimentation stabilisée.
3. Un cylindre de Wehnelt dont le rôle est de focaliser le faisceau, sera mis au même potentiel que la cathode.

En fonctionnement, les électrons émis par le canon à électrons entrent en collision avec quelques molécules du gaz résiduel ce qui place ces molécules dans un état excité (état non stable). C'est en revenant à leur niveau fondamental que ces molécules produisent une lumière -- dite de fluorescence -- et permettent ainsi de matérialiser le faisceau électronique.

Protocole expérimental

1. Tout d'abord commencez par faire le montage électrique. Attention à l'ampèremètre, il faut brancher sur l'entrée 10A. Demandez à l'enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien allumer avant cette vérification !
2. Faites chauffer la cathode émissive pendant 3 minutes avant d'appliquer une tension accélératrice.
3. Imposez une tension $U<300\,\mathrm{V}$ : un faisceau électronique doit apparaître.
4. Alimentez les bobines avec un courant $I<1,5\,\mathrm{A}$. Le faisceau se courbe de façon à former un cercle. Si la courbure est dans le mauvais sens, inversez le sens du courant électrique traversant les bobines.



5. Pour mesurer le diamètre $\phi$ de la trajectoire électronique on s'aide du miroir qui se trouve derrière l'ampoule. On vise d'abord (en fermant un œil) l'endroit d'où sortent les électrons (point A sur la figure) ainsi que son image à travers le miroir (point A'). On place ensuite un repère dans l'alignement de de ces deux points (devant l'ampoule deux repères mobiles servent à cela). On procède de la même manière pour le point B diamétralement opposé. À la fin, les deux repères sont séparés de la distance $\phi$.

Mesures et exploitations

1. Mesurez le diamètre de la trajectoire électronique pour $n\geq 10$ couples différents ($U,I$) en respectant les intervalles 200 V - 300 V et 1 A - 1,5 A. Pour chaque couple vous ferez 2 mesures indépendantes (échanger les rôles) et noterez la valeur moyenne obtenue.
2. Sous Regressi™, remplir un tableau avec les variables expérimentales $U$, $I$ et $\phi$.

   À préparer : montrez, à partir des formules \eqref{eq:TPe/mChampMagnetique}, \eqref{eq:TPe/mRayon} et \eqref{eq:TPe/mVitesse} que l'on a \begin{equation}\boxed{ \displaystyle \frac{e}{m}=\frac{8U}{(\phi\, B)^2} }\end{equation}

3. Créez les grandeurs calculées \(B\) et \(e/m\).
4. On obtient alors une série de $n$ mesures indépendantes de \(e/m\) qui présentent une certaine dispersion. Afficher la répartition statistique des résultats en cliquant sur l'onglet Statistique . Dans Option, choisir la grandeur d'étude et demander d'afficher la moyenne et l'intervalle de confiance sur la moyenne à 95% de niveau de confiance (ICM95%).
   Si Regressi™ refuse d'afficher l'histogramme, remplacez \(e/m\) par \(10^{11}e/m\).
5. En déduire la valeur du facteur $e/m$ ainsi que son incertitude. Les tables donnent \[ \frac{e}{m}=1,75882\cdot 10^{11}\,\mathrm{C.kg^{-1}} \] Cette valeur est-elle compatible avec votre mesure ?

On cherche à affiner notre mesure en éliminant certains biais. Par exemple, la formule \eqref{eq:TPe/mChampMagnetique} donne le champ magnétique au centre de la bobine de Helmholtz. Or, le faisceau se situe à la distance \(\phi/2\) de l'axe des spires. Il faut alors corriger l'expression du champ magnétique en fonction du diamètre du faisceau. On montre que \[ B_\text{corrigé}=B\left[1-\frac{27}{1000}\left(\frac{\phi}{R}\right)^4\right] \]

7. Reprenez votre tableau en corrigeant les valeurs du champ magnétique puis donnez la nouvelle valeur de \(e/m\). Que pensez-vous de l'importance de ce biais ?
8. La composante horizontale du champ magnétique terrestre vaut 2.10^-5 T. À l'aide d'une boussole, déterminer la correction à apporter dans l'expression de \(B\). En déduire une nouvelle estimation de \(e/m\). Discutez.
9. Voyez-vous d'autres biais ? Si oui, proposez un protocole pour le mettre en évidence.

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