Erreur et incertitude

Erreur ?

L’erreur est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie de la grandeur que l’on mesure.

Il existe deux types d’erreurs :

• L’erreur aléatoire que l’on traitera de façon statistique ou probabiliste : par exemple, la mesure répétée de la période d’un pendule avec un chronomètre manuel donne des valeurs légèrement différentes ;
• L’erreur systématique est une erreur qui va se reproduire à chaque mesure (un biais) : par exemple, si la voie 1 d’un oscilloscope n’est pas mise à zéro initialement, la valeur d’une tension mesurée sur cette voie sera systématiquement entachée de la même erreur.

Incertitude

Évaluer l’incertitude équivaut à estimer l’erreur aléatoire commise lors d’une mesure. Elle donne accès à un intervalle autour de la valeur mesurée dans lequel est supposée appartenir la valeur vraie.

Différents types d’incertitudes

On distingue deux types d’incertitudes appelées incertitudes-types car exprimées à l’aide d’un écart-type :

• L’incertitude de type A est une incertitude de type statistique : on répète un certain nombre de fois la mesure de la grandeur cherchée, on donne un résultat qui est la valeur moyenne des valeurs mesurées et une incertitude calculée statistiquement ;
• L’incertitude de type B est une incertitude qui n’est pas statistique.

Évaluation de l’incertitude de type B (non statistique)

Pour évaluer celle-ci, plusieurs cas sont à distinguer :

1. Elle est évaluée par l’expérimentateur en fonction de la graduation minimale de l’appareil ou d’une plage de valeurs considérées comme acceptable. Rigoureusement, l’incertitude type est égale à :

   \begin{equation}\boxed{ u_B = \dfrac{\text{une graduation}}{\sqrt{12}} \quad\text{ou}\quad u_B = \dfrac{\text{dimension de la plage}}{\sqrt{12}} }\end{equation}

   Exemple 1

   On mesure une longueur à l’aide d’un double décimètre graduée au millimètre. L’incertitude-type sur cette mesure est égale à : \begin{equation}u_B = \dfrac{\text{1}}{\sqrt{12}} = 0{,}3\,\mathrm{mm}\end{equation}

   Exemple 2

   On souhaite déterminer par autocollimation la focale d’une lentille convergente. La plage de distance qui permet d’obtenir l’image nette de l’objet par le miroir est \( 9{,}8\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 11{,}2\,\mathrm{cm}\).
   Comme valeur vraie, on prendra la valeur moyenne de la plage:

   \begin{equation}f'= \dfrac{11{,}2+9{,}8}{2} = 10{,}5\,\mathrm{cm}\end{equation}

   Pour calculer l’incertitude, on effectue :

   \begin{equation}u_B = \dfrac{11{,}2-9{,}8}{\sqrt{12}} = 0{,}4\,\mathrm{cm}\end{equation}

2. Elle est donnée par le fabricant de l’appareil de mesure (notice) qui donne une indication de précision-contructeur \(\Delta_c\). L’incertitude-type est alors donnée par

   \begin{equation}\boxed{ u_B = \dfrac{\Delta_c}{\sqrt{3}}}\end{equation}

   Exemple
   

   On mesure une tension de \(4{,}32\,\mathrm{V}\) avec un voltmètre sur le calibre \(20\,\mathrm{V}\), la résolution est de \(10\,\mathrm{mV}\). La précision donnée par le constructeur indique : \(\Delta_c = 0{,}5\%\,\text{valeur lue} + 1\,\text{digit}\).
   L’incertitude-type est donc :

   \begin{equation}u_B = \dfrac{\dfrac{0{,}5\times 4{,}32}{100}+0{,}01}{\sqrt{3}} = 0{,}02\,\mathrm{V}\end{equation}

Propagation des incertitudes

Lorsque plusieurs paramètres indépendants \(p_1\), \(p_2\) sont mesurées pour en déduire la valeur d’une grandeur \(x\), et son incertitude \(u_x\), il convient de prendre en compte l’incertitude sur chaque paramètre pour calculer l’incertitude sur la grandeur voulue. On utilise alors une formule pour calculer l’incertitude \(u x\) :

\begin{equation}\boxed{\text{Soit } x=f(p_1,p_2) \text{ alors } u_x = \sqrt{\left|\dfrac{\partial{f}}{\partial{p_1}}\right|^2u_{p_1} ^2 +\left|\dfrac{\partial{f}}{\partial{p_2}}\right|^2u_{p_2}^2}}\end{equation}

Exemple

On souhaite connaître la puissance électrique consommée par un conducteur ohmique \(P=R\,I^2\). On mesure sa résistance \(R = 15{,}7\,\Omega\) avec une incertitude-type \(u_R = 1\,\Omega\), puis on mesure l’intensité qui le traverse \(I = 0{,}274\,\mathrm{A}\) avec un incertitude \(u_I = 0{,}002\,\mathrm{A}\).On applique donc la formule proposée :

\begin{equation}\begin{array}{rcl} u_P &=&\sqrt{\left|\dfrac{\partial{P}}{\partial{R}}\right|^2{u_R}^2 +\left|\dfrac{\partial{P}}{\partial{I}}\right|^2{u_I}^2} \\ &=& \sqrt{\left(I^{2}u_R\right)^2 +\left(2R\,I\,u_I\right)^2} \\ &=& \sqrt{\left(0{,}274^{2}\times 1\right)^2 + \left(2\times 15{,}7\times 0{,}274\times 0.002\right)^2} \\ u_P &=& 0{,}08\,\mathrm{W} \end{array}\end{equation}

Deux formules plus simples dans certains cas

Dans le cas d’une somme, soit \(x =a\times p_1 + b\times p_2\), le calcul de l’incertitude-type devient :

\begin{equation}u_x = \sqrt{(a\,u_{p_1})^2+ (b\,u_{p_2})^2}\end{equation}

Dans le cas d’un produit, soit \(x = {p_1}^a \, {p_2}^b\), le calcul de l’incertitude-type devient :

\begin{equation}\dfrac{u_x}{x} = \sqrt{\left(\dfrac{a\,u_{p_1}}{p_1}\right)^2+\left(\dfrac{b\,u_{p_2}}{p_2}\right)^2}\end{equation}

Incertitude élargie

Peut-on faire confiance à l’incertitude-type (composée ou non) ? Est-on sûr que l’ensemble des valeurs mesurées sera dans l’intervalle défini par l’incertitude ?

On attribue donc un niveau de confiance à cette incertitude : on créé une incertitude élargie. Pour un niveau de confiance de \(95\%\), on montre que l’incertitude élargie vaut deux fois l’incertitude-type :

\begin{equation}\boxed{U_x = 2 \times u_x}\end{equation}

Évaluation de l’incertitude de type A (statistique)

Pour un grand nombre de mesures

Lorsque l’on fait une étude statistique d’une expérience, on répète \(n\) fois une mesure de la grandeur \(x\).On considère que la meilleur estimation de la valeur vraie de la grandeur cherchée est la moyenne des valeurs de \(x\) obtenue :

\begin{equation}\overline{x} = \dfrac{x_1+x_2+ ... +x_n}{n}\end{equation}

Pour trouver l’incertitude sur cette moyenne, on calcule d’abord l’écart-type de la distribution des \(n\) mesures :

\begin{equation}\boxed{\sigma_{n-1} = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}{n-1}}}\end{equation}

Puis on calcule l’écart-type sur la moyenne qui sera notre incertitude-type. Donc :

\begin{equation}\boxed{u_x = u_{\overline{x}} = \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}}\end{equation}

Pour un petit nombre de mesures

Cependant, ce qui a été vu précédemment n’est valable que pour un certain nombre de mesures. Comme on ne prendra jamais autant de mesures, on utilisera la méthode de Student : elle consiste à coefficienter l’écart-type sur la moyenne en fonction du nombre de mesures effectuées.

Ce coefficient, noté \(t\), est adapté à un intervalle de confiance. \(t\) est donné dans le tableau ci-dessous pour un intervalle de confiance de \(68\%\) (écart à la moyenne égal à un écart type) ou 95% (écart à la moyenne égal à deux écarts-types) :

Nbre de mesures \(n\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Coefficient \(t\) 68%	1,84	1,32	1,20	1,14	1,11	1,09	1,08	1,07	1,06
Coefficient \(t\) 95%	12,7	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,37	2,31	2,26

Le calcul de l’incertitude sera alors le suivant :

\begin{equation}\boxed{u_x = t \times \dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}}}\end{equation}

Expression d’un résultat de mesure

Pour présenter le résultat d’une mesure, on juxtapose la valeur mesurée (une moyenne de celle-ci si une étude statistique a été faite), son incertitude absolue, une puissance de 10 (notation scientifique) et une unité. On écrira donc :

\begin{equation}\boxed{\text{valeur mesurée} = (x \pm U_x) \times 10^n \quad \text{unité}}\end{equation}

L’incertitude absolue $U_x$ sera toujours donnée avec un seul chiffre significatif. On ajustera la valeur de la mesure \(x\) de manière à ce que son dernier chiffre significatif soit à la même position que celui de la mesure.

On pourra aussi si on le souhaite encadrer la valeur mesurée à l’aide de l’incertitude :

\begin{equation}x - U_x < \text{valeur mesurée} < x + U_x\end{equation}

Exemple

On mesure la résistance d’un conducteur ohmique avec un ohmmètre. On obtient \(R = 201{,}34\,\mathrm{\Omega}\) avec une incertitude de \(0{,}5\,\mathrm{\Omega}\). On écrira donc : \begin{equation}R = 201{,}3\, \pm 0.5\,\mathrm{\Omega} \Longleftrightarrow 200{,}8\,\mathrm{\Omega} < R < 201{,}8\,\mathrm{\Omega}\end{equation}

Incertitude relative d’une mesure

Pour avoir une idée de la qualité d’une mesure, on peut calculer son incertitude relative en pourcentage:

\begin{equation}\boxed{\text{Incertitude relative} = \dfrac{U_x}{x} \times 100}\end{equation}

Vérification expérimentale d’une loi

Il n’est pas rare en physique de passer par une représentation graphique pour tenter de vérifier une loi. La droite étant la représentation la plus simple, on cherche à exprimer la loi à tester sous la forme \(y = a\times x + b\), par exemple en effectuant un changement de variable.Outre la vérification de la linéarité, c’est souvent la pente de la droite qu’il est intéressant de déterminer, avec son incertitude associée.

Pente et incertitude

Le processus est donc le suivant :

• on relève des couples de valeurs \((x,y)\) ainsi que leur incertitude ;
• on reporte les points \((x_i,y_i)\) sur un graphique, puis on trace les barres d’incertitudes (\(U_x\) horizontale et \(U_y\) verticale) de part et d’autre de ces points ;
• si on opère manuellement, on cherche les droites extrêmes de pente $a_{\mathrm{min}}$ et $a_{\mathrm{max}}$ qui passent par les points, en tenant compte des incertitudes.
  

  

  La pente retenue sera déterminée par \(a = \dfrac{a_{\mathrm{min}}+a_{\mathrm{max}}}{2}\).
  L’incertitude sur cette pente sera donnée par \(U_a = \dfrac{|a_{\mathrm{max}}-a_{\mathrm{min}}|}{2}\).
• Si on utilise un logiciel type Régressi, celui-ci fournira directement la pente optimale et son incertitude.

Dans tous les cas, si à partir de cette pente il faut déterminer une autre grandeur, c’est la formule de propagation des incertitudes qui s’appliquera, en utilisant le \(U_a\) déterminée graphiquement.

Acceptation de la linéarité

Si les incertitudes sont comparables aux écarts des différents points à la droite, on peut considérer la loi linéaire comme acceptable.

Utilisation du logiciel Régressi

En travaux pratiques, c’est le recours au logiciel Régressi qui permettra de traiter la linéarité d’un ensemble de points, d’obtenir la pente de la droite ainsi que son incertitude. Se reporter à la vidéo explicative pour davantage de détails sur la démarche à suivre.