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Analyse de Fourier

Objectif

Ce TP est une initiation à l'analyse de Fourier. Nous verrons notamment comment une analyse spectrale permet de remonter à la courbe de réponse d'un filtre électrique.

Prérequis

Revoir le cours d'électricité (régime sinusoïdal)..

Aspects théoriques

Analyse de Fourier

Supposons un signal temporel périodique $y(t)$ de période $T$. On a \[y(t)=y(t+T)\quad \forall t\] Toute l'information du signal se trouve donc dans un motif de durée $T$ qui se répète $f=1/T$ fois en une seconde. $f$ désigne la fréquence du signal.

Le théorème de Fourier énonce --sous certaines conditions mathématiques que l'on supposera valides ici-- qu'un signal périodique de fréquence $f$ se décompose en une somme infinie de sinus et cosinus de fréquence $f$, $2f$, $3f$, etc. Formellement on a

\begin{equation} \boxed{\displaystyle y(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(2\pi n f t)+b_{n}\sin(2\pi n f t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\cos(2\pi n ft+\varphi_{n}) } \end{equation}

Il s'agit de la décomposition de Fourier d'un signal périodique. $a_{0}$ et $c_{n}$ sont les coefficients de fourier et dépendent de la forme du signal.

  • Le coefficient $a_{0}$ représente la valeur moyenne du signal $y(t)$: \[ a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}y(t)\,\mathrm{d}t \]
  • $c_{n}$ est l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ et s'obtient à l'aide des intégrales suivantes : \[ c_{n}=\sqrt{{a_{n}}^{2}+{b_{n}}^{2}} \qquad\text{avec}\qquad \left\{\begin{array}{rcl} b_{n}&=&\displaystyle{\frac{2}{T}\int_{0}^{T}y(t)\sin(2\pi nft)\,{\rm dt}}\\[3mm] a_{n}&=&\displaystyle{\frac{2}{T}\int_{0}^{T}y(t)\cos(2\pi nft)\,{\rm dt}} \end{array}\right. \]

Spectre d'un signal

La façon la plus classique de représenter un signal temporel est de tracer le graphe de $y(t)$. Une autre consiste à représenter les coefficients de la décomposition en fonction de la fréquence $f_{n}=n\,f$. On obtient alors une représentation spectrale. Le spectre d'un signal périodique est discret puisque les coefficients ne sont définis que pour des fréquences particulières ($f_{n}=nf$).

Exemple : le signal carré

Considérons le signal carré d'amplitude crête-à-crête $2A$ défini par \[y(t)=\left\{\begin{array}{cl} A & \text{si }t\in[0,T/2[\\ -A & \text{si }t\in[T/2,T[ \end{array}\right. \quad\text{et}\quad y(t+T)=y(t) \] On montre que ce signal se décompose en série de Fourier comme suit : \[y(t)=\frac{4A}{\pi}\left[\sin(2\pi ft)+\frac{1}{3}\sin(2\pi (3f)t)+\frac{1}{5}\sin(2\pi (5f)t)+ \frac{1}{7}\sin(2\pi (7f)t)+\ldots \right]\] On obtient donc des harmoniques impaires et les coefficients varient en $1/n$.

Analyse de fourier d'un signal carré
Représentations temporelle puis spectrale d'un signal carré.

Théorème de Parseval

Pour un signal périodique décomposable en série de Fourier, on a l'égalité:

\begin{equation} \boxed{\displaystyle \overline{y(t)^{2}}={a_{0}}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}}^{2} } \label{eq:theoreme_de_parseval} \end{equation}

où $\overline{y(t)^{2}}$ désigne la moyenne temporelle du signal au carré. En électricité, cette grandeur représente le carré de la valeur efficace et le théorème traduit le fait que la puissance électrique du signal est la somme des puissances transportées par chaque harmonique.

Notion de filtrage

Lorsque l'on étudie la réponse fréquentielle d'un circuit, on branche une source alternative entre deux points d'un circuit (l'entrée du circuit) et on observe la réponse du circuit en mesurant une grandeur électrique en sortie du circuit. On forme alors un quadripôle.

quadripôle

En régime sinusoïdal, toutes les grandeurs oscillent de façon sinusoïdale à la même fréquence\footnote{On suppose ici que le quadripôle est linéaire, c'est-à-dire exclusivement constitué de dipôles linéaires.}. En notation complexe, les tensions d'entrée et de sortie s'écrivent \[ \underline{u_{\rm e}}(t)= \underline{U_{\rm e}}\,\mathrm{e}^{i2\pi f t} \qquad\text{et}\qquad \underline{u_{\rm s}}(t)=\underline{U_{\rm s}}\,\mathrm{e}^{i2\pi f t} \qquad\text{avec}\qquad i^2=-1 \] On mesure la réponse sortie/entrée en calculant le \textbf{gain complexe en tension} \[ \underline{H}(f) = \frac{\underline{u_{\rm s}}(t)}{\underline{u_{\rm e}}(t)} = \frac{\underline{U_{\rm s}}}{\underline{U_{\rm e}}} \] Ce nombre complexe donne une information à la fois sur le gain $G$ (rapport des amplitudes) et sur le déphasage sortie/entrée : \[ G=|\underline{H}|=\frac{U_{\rm s}}{U_{\rm e}} \qquad\text{et}\qquad \phi=\arg{\underline{H}} \] On obtient la courbe de réponse du quadripôle en traçant $G$ en fonction de la fréquence $f$. Suivant l'allure de $G(f)$ on donne un nom au quadripôle.

différents types de filtre
Les différents types de filtre.

Ainsi, lorsque le signal d'entrée est périodique mais non sinusoïdal, chaque harmonique étant différemment atténuée et déphasée, on obtient à la sortie, un signal de même fréquence mais de forme différente. L'analyse harmonique des signaux en entrée et en sortie permet d'obtenir une information sur la réponse fréquentielle du filtre. En effet, si la tension d'entrée s'écrit \[ u_{\rm e}(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n,\,\rm e}\cos(2\pi nft+\varphi_{n}) \] alors chaque harmonique est, en sortie, atténuée et déphasée : \[ u_{\rm s}(t)=G(0)\times a_{0}\ +\sum_{n=1}^{\infty}G(f_n)\times c_{n,\rm e}\cos(2\pi nft+\varphi_{n}+\phi(f_n)) \] Il est donc possible de remonter à la réponse fréquentielle du filtre à partir des coefficients de Fourier des signaux en entrée et en sortie puisque

\begin{equation} \boxed{\displaystyle c_{n,\rm s}=G(f_n)\,c_{n,\rm e}} \end{equation}

Manipulation

Étude du signal carré (1H max)

L'analyse de Fourier d'un signal carré est réalisé à l'aide de l'outil FFT (Fast Fourier Transform) d'un oscilloscope numérique.

  1. Branchez la sortie 50$\Omega$ du GBF sur la voie 1 (CH1) de l'oscilloscope.
  2. Fixez la fréquence à $f=500\;\mathrm{Hz}$ et choisir un signal carré (vérifier que le signal est bien carré).
  3. Faites en sorte que l'amplitude crête à crête ne dépasse pas 10 V (bouton Level).
  4. Appuyez sur CH1 pour faire apparaître le menu de la voie 1 : choisir le couplage AC
  5. L'oscilloscope peut calculer en temps réel le spectre du signal. Appuyez sur Math $\blacktriangleright$ FFT puis placez Windows sur Hamming et Scale sur Vrms. L'oscilloscope donne le spectre avec en ordonnée la tension efficace $c_{n\;\rm eff}=c_n/\sqrt{2}$.
  6. On obtient le spectre du signal. Pour mesurer les fréquences et les coefficients des harmoniques on utilise les curseurs.
    • Pressez CURSOR $\blacktriangleright$ Mode et sélectionnez Manual.
    • Pressez Type pour sélectionner X ou Y.
    • Pressez Source pour sélectionner FFT. Déplacer les curseurs pour faire vos mesures.

Expérience n°1

Dans un premier temps, collectez les fréquences $f_n$ des 6 premières harmoniques. Entrez ces données dans Regressi et vérifiez qu'elles sont bien multiples impaires d'une fréquence fondamentale $f$ qu'on déterminera. Le résultat est-il cohérent ?

Expérience n°2

Ensuite collectez les coefficients de Fourier pour les 6 premières harmoniques.

Si les fluctuations dues au bruit électrique vous empêche de faire la mesure, éliminez ces fluctuations aléatoires par une opération de moyenne. Dans le panneau -Menu-, appuyez sur Acquire $\blacktriangleright$ Acquisition $\blacktriangleright$ Average et ajustez à la valeur 256.

Vérifiez que les $c_{n\;\rm eff}$ suivent la loi \[c_{n\;\rm eff}=\frac{4A}{\sqrt{2}\;\pi}\frac{1}{n}\] En déduire l'amplitude $A$ du signal carré (ne pas oubliez son incertitude).

Cherchons maintenant à vérifier la loi de Parseval.

  • Sachant que pour un signal carré $y(t)=\pm A$, que vaut alors $\overline{y^{2}(t)}$ ?
  • Sachant que le signal carré est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, que vaut $a_0$ ?
  • Calculez $A^2$ (ainsi que son incertitude).
  • Calculez la somme $\sum_{n}c_{n\;\rm eff}^{2}$ en ne considérant que les 6 premières harmoniques.
  • Compte tenu des incertitudes, peut-on dire que le théorème de Parseval est vérifié ? Discutez.

Éteignez maintenant le GBF et l'oscilloscope !

Réponse fréquentielle d'un filtre passe-bande

circuit RLC
  1. Réalisez le montage RLC décrit ci-dessus.
    Demandez à l'enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien allumer avant cette vérification !
  2. Envoyez la tension de sortie (aux bornes de C) sur la voie 2 de l'oscilloscope et la tension d'entrée sur la voie 1.

Observations et Mesures

  1. Une fois la vérification effectuée, alimentez le circuit avec un signal sinusoïdal de fréquence 300 Hz. Le signal en sortie est-il de la même forme ?
  2. Envoyez maintenant une série d'impulsions de fréquence 300 Hz et d'amplitude crête à crête $V_{\rm pp}\approx 5\,\mathrm{V}$. Pour cela, passez en mode échelon puis débloquez le bouton SYMMETRY et tournez le à gauche. Attention : vérifiez qu'il n'y a pas de tension de décalage en entrée et placez vous en mode AC sur les deux voies.
    Le signal de sortie est-il de la même forme que celui en entrée ? Pourquoi ?
  3. Collectez dans un tableau Regressi les amplitudes des harmoniques du signal d'entrée et de sortie ainsi que la fréquence correspondante.
  4. Créez la grandeur $G=c_{ns}/c_{ne}$ et portez $G$ en fonction de la fréquence $f$. On montre que le gain de ce filtre s'écrit \[G(f)=\frac{1}{\sqrt{(1-af^2)^2+(bf)^2}} \qquad\text{avec}\qquad \left\{\begin{array}{rcl} a &=& 4\pi^2\, L\,C \\ b &=& 2\pi\,r\,C \end{array}\right.\] À l'aide d'une modélisation, trouvez les valeurs de $a$ et $b$ qui s'ajustent le mieux à vos mesures (il faut aider le logiciel en donnant à $a$ et $b$ des valeurs proches des valeurs optimales). De quel type de filtre s'agit-il ?
  5. Y-a-t-il adéquation avec les valeurs théoriques ? Discutez.

À la fin de la manip, appuyez sur le bouton SYMMETRY du GBF afin de faire gagner du temps au groupe suivant.


Matériel

  • un ordinateur portable ;
  • un oscilloscope numérique RIGOL DS 1102E ;
  • un GBF ;
  • une bobine $L=79\;\mathrm{mH}$, $r=226\;\mathrm{\Omega}$ ;
  • un condensateur $C=453\;\mathrm{nF}$.