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TP-cours : circuit RLC en régime forcé

Objectifs :

  • Étudier la réponse d'un circuit RLC soumis à une tension variable ;
  • Découvrir la notion de filtre et de fonction de transfert.

Un peu de théorie

Le résistor, la bobine et le condensateur ne se comportent pas de la même façon selon la fréquence imposée. Leurs impédances décrivent ce comportement ($\omega=2\pi\,f$) :
$Z_R=R \qquad Z_L=j\,L\omega \qquad Z_C=\cfrac{1}{j\,C\omega}$.

Ainsi, la résistance ne dépend pas de la fréquence : $u=R\,i$.

Aux basses fréquences, la bobine présente une faible impédance : comme un interrupteur fermé (un fil), l'intensité circule facilement et la tension est proche de zéro.
Aux basses fréquences, le condensateur présente une très forte impédance : comme un interrupteur ouvert, l'intensité circule très mal et est proche de zéro.

À haute fréquence, la bobine présente une forte impédance : comme un interrupteur ouvert, l'intensité circule très mal et est proche de zéro.
À haute fréquence, le condensateur présente une très faible impédance : comme un interrupteur fermé (un fil), l'intensité circule facilement et la tension est proche de zéro.

Quand on associe ces composants de base, on peut combiner les différents comportements pour réaliser des filtres : passe bas, passe haut, passe bande, réjecteur de bande.
Le but de ces filtres est de ne conserver du signal d'entrée que ce qui est jugé intéressant.

Dans la suite de ce TP-cours, on étudie le circuit RLC série dont un schéma est fourni ci-dessous, à titre illustratif.

circuit rlc

L'impédance du circuit est la somme des impédances des trois composants : $Z=\cfrac{e}{i}=R+j(L\omega-1/C\omega)$.

En conséquence, $u_R=R\,i=\cfrac{R}{Z}\,e=\cfrac{jRC\omega}{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}\,e$.

En module, $U_R=\cfrac{RC\omega}{\sqrt{(1-LC\omega^2)^2+(RC\omega)^2}}\,E$
En étudiant les variations de $U_R$ en fonction de la pulsation, on s'aperçoit que $U_R$ tend vers zéro quand $\omega\to 0$ et $\omega\to\infty$. $U_R$ est maximal pour la pulsation de résonance $\omega_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}$. Il s'agit d'un filtre passe bande.

Réalisation du montage

Rendez-vous à l'adresse http ://www.docircuits.com et construisez le circuit RLC série avec les composants suivants :

  • $C = 10\,\mathrm{nF}$;
  • $L = 1\,\mathrm{mH}$;
  • $R = 100\,\Omega$;
  • deux sources sinusoïdales en série d'amplitude $1\,\mathrm{V}$ et de fréquences respectives $50\,\mathrm{kHz}$ et $1\,\mathrm{MHz}$.

On désire visualiser la tension d'entrée (issue de l'association des sources) et la tension aux bornes de la résistance. Placer alors des voltmètres sur le schéma.

Analyse fréquentielle

Simulation

On réalise une analyse fréquentielle (Frequency Domain Analysis), c'est à dire qu'on veut analyser le comportement du circuit quand la fréquence varie.

  • Fixer la plage de fréquences entre 10 kHz et 10 MHz.
  • Lancer l'analyse.
  • N'afficher que la tension aux bornes de la résistance.
  • Augmenter éventuellement la précision de l'analyseur (output accuracy) si la réponse fréquentielle n'est pas bien lissée (si elle a un aspect de lignes brisées).

Questions

Quel type de filtre est réalisé ?

Quelle est la valeur de la fréquence centrale $f_0$ ? Comparer avec la valeur théorique $f_0=\cfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

Quelles sont les fréquences $f_2$ et $f_1$ qui correspondent à une amplitude divisée par $\sqrt{2}$ ?
Calculer $\Delta{f}=f_2-f_1$ la bande passante du circuit.

En déduire le facteur de qualité $Q=f_0/\Delta{f}$ et comparer à la valeur théorique $Q=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}$.

Le facteur de qualité est un indicateur important pour un filtre passe bande : il précise si le filtre rejette bien les fréquences différentes de $f_0$ c'est à dire si la bande passante est étroite ou pas ($\Delta{f}$ faible implique $Q$ grand).

Mesurer la nouvelle bande passante lorsque la résistance est divisée par deux. Conclure.

Analyse temporelle

Simulation

On veut visualiser à quoi ressemble les signaux dans le temps (Time Domain Analysis).

  • Régler le temps d'analyse sur 0,2 ms.
  • Afficher les tensions d'entrée et aux bornes de la résistance.
  • Modifier l'échelle horizontale (X-Axis Properties) pour n'afficher que quelques périodes (entre 0,1ms et 0,11ms par exemple).
  • Augmenter éventuellement la précision de l'analyseur (output accuracy) si les tensions ne sont pas bien lissées (si elles ont un aspect de lignes brisées).

Remarque : si on observe les tensions à un temps proche de zéro, on s'aperçoit qu'il existe un régime transitoire, qui disparaît rapidement. L'objet de ce TP n'est pas d'étudier ce régime transitoire et il est donc nécessaire de ne visualiser les tensions que lorsque ce régime a totalement disparu.

Questions

À quoi ressemblent la tension d'entrée et la tension aux bornes de la résistance ? Expliquer ce qui s'est passé.

Calculer la valeur de capacité qui permet d'obtenir une fréquence centrale adaptée à la récupération du signal de fréquence la plus élevée uniquement.

Visualiser les mêmes tensions avec cette nouvelle valeur de $C$ et conclure.

Exercice : filtre passe bas

On conserve le circuit précédent mais on supprime la bobine.

Quel est le type de filtre réalisé aux bornes de la résistance ? Et aux bornes du condensateur ? Simuler pour comprendre.

La pulsation de coupure vaut $\omega_c=\cfrac{1}{RC}$.
Choisir la pulsation de coupure la plus adéquate permettant de séparer les deux fréquences présentes dans la tension d'entrée (sachant que $R=100\,\mathrm{\Omega}$).
En déduire la valeur à donner au condensateur.
Quelle fréquence récupère-t-on aux bornes du condensateur? et aux bornes de la résistance?
Simuler pour comprendre: visualiser chacune des deux tensions pour confirmer vos hypothèses et conclure.

Réexprimer le module $U_R$ en fonction de $E$ en tenant compte de $L=0$.
Étudier le comportement de $U_R$ à basse et haute fréquence.
Retrouver l'expression de la fréquence de coupure, sachant qu'elle est obtenue quand le gain maximal $\left(\dfrac{U_{R_{\mathrm{max}}}}{E}\right)$ a été divisé par $\sqrt{2}$.