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Diffraction

Objectif

Ce TP est une introduction à l'optique ondulatoire via l'observation et l'analyse de la diffraction de la lumière par différents obstacles. Il s'agit notamment :

  • d'observer les figures de diffraction produites par une fente fine ou une pupille circulaire ;
  • de vérifier les lois de diffraction que prévoit la théorie ondulatoire.

La diffraction

En optique géométrique, dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite. Lorsqu'elle change de milieu, elle subit une déviation qui obéit aux lois de Snell-Descartes. Ainsi, cette théorie n'explique pas ce qui se passe lorsque la lumière rencontre un obstacle de faible dimension. Au lieu d'aller «tout droit», le faisceau s'étale et présente des variations spatiales d'intensité. La diffraction est rencontrée dès qu'un phénomène présente un caractère ondulatoire et intervient dès lors dans de nombreux domaines.

La théorie scalaire de la diffraction fut établie par Fresnel. Nous nous limiterons à la diffraction en champ lointain pour laquelle le capteur est placé suffisamment loin de l'obstacle ce qui permet de le considérer à l'infini. Par ailleurs, les résultats seront fournis sans démonstration.

Exemple 1 : diffraction par une fente

On considère une onde lumineuse plane de longueur d'onde $\lambda$ tombant en incidence normale sur un écran comportant une fente fine de largeur $\ell$. Au-delà de l'écran, l'onde (dite alors onde diffractée) se propage suivant toutes les directions et l'intensité lumineuse suivant la direction repérée par l'angle $\theta$ est donnée par la loi : \[I(u)=I_{0}\,\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2} \qquad\text{avec}\qquad u =\dfrac{\pi\,\ell\,\sin \theta}{\lambda} \] où $\theta$ désigne l'angle entre la direction de diffraction et celle de l'onde incidente ; $I_0$ l'intensité dans la direction incidente. On obtient des minima d'intensité diffractée} pour $I(\theta)=0$, soit pour toutes les valeurs de $u$ telles que $\sin u=0$, c'est-à-dire pour \[u=k\pi\qquad\Longrightarrow\qquad\sin\theta_k=k\frac{\lambda}{\ell}\] avec $k$ un entier relatif non-nul.

Intensité obtenue par diffraction d'un faisceau lumineux au travers d'une fente.
Intensité obtenue par diffraction d'un faisceau lumineux au travers d'une fente.

On peut relier la position angulaire $\theta_k$ avec la position $x_k$ repérée sur le capteur situé à une distance $D$ de l'objet diffractant : \[\tan\theta_k=\frac{x-x_0}{D}\] où $x_0$ désigne la position de la tache centrale. Si l'on suppose les angles de diffraction faibles, on a $\tan \theta_k\simeq \sin\theta_k$ d'où \begin{equation} \boxed{ \displaystyle x_{k}=k\frac{\lambda D}{\ell}+x_0 } \label{eq:TP2Minima} \end{equation}

L'intervalle $i_{\text{d}}$ entre 2 minima successifs est l'\textbf{interfrange} de la figure de diffraction : \begin{equation} \boxed{ \displaystyle i_{\text{d}}=\lambda\,\frac{D}{\ell} } \label{eq:TP2Interfrange} \end{equation} La tache centrale, comprise entre $k=-1$ et $k=+1$, a une extension valant à peu près \[2\,\frac{\lambda\, D}{\ell}\] La tache centrale est deux fois plus étendue que les autres. Cette propriété permet de différencier immédiatement une figure de diffraction d'une figure d'interférence. En outre, cette tache est d'autant plus étendue que $\ell$ est petite.

Exemple 2 : diffraction par un trou

Lorsque l'on envoie sur un écran percé d'un trou circulaire, un faisceau de lumière parallèle, il en sort un faisceau d'autant plus divergent que le trou est petit. La figure de diffraction captée sur un écran placé loin du trou est constituée par une suite d'anneaux concentriques de moins en moins lumineux. La lumière se concentre essentiellement sur la tache centrale dont le diamètre $\phi$ est d'autant plus grand que le trou est petit. La théorie prévoit qu'un trou de diamètre $d$ produit une tache centrale de diamètre \[\phi=a\frac{\lambda D}{d}\] où $a$ est une constante numérique à déterminer.

tach d'Airy.
Tache de diffraction résultant de la diffraction de la lumière traversant un trou.

Manipulation

Préparation

  1. Placez la source laser et des polariseurs qui permettront - en croisant leur direction de polarisation - d'atténuer l'intensité de la lumière qui arrive sur l'obstacle diffractant. Allumez le laser et réglez l'alignement du faisceau de façon à ce que le spot laser atteigne le centre du capteur.

    MANIPULER LE LASER AVEC PRECAUTION ! Ne pas garder intentionnellement l’œil dans l’axe du faisceau laser.

  2. Une fois ce réglage effectué, ne touchez plus au laser. Placez l'obstacle diffractant perpendiculairement au rail et de façon à ce que le spot laser incident soit centré sur la pupille diffractante.
  3. Placez le capteur à $D=1{,}40\;\mathrm{m}$ de la pupille diffractante. Attention le capteur est décalé par rapport à l'axe du support de 15 mm.
  4. Le signal lumineux capté est traité via le logiciel Caliens. Allumez le logiciel Caliens seulement après avoir mis en marche le capteur. Le logiciel affiche en temps réel la répartition de l'intensité lumineuse le long de la barrette CCD horizontale (capteur 1D). On peut ajuster sa position verticalement de façon à capturer le maximum de signal. Le logiciel permet d'effectuer des mesures précises à l'aide de curseurs et d'imprimer les courbes d'intensité. Les mesures seront d'autant plus précises que les objets seront bien positionnés par rapport au faisceau (orientation et hauteur). La figure ci-dessous représente une copie d'écran du logiciel Caliens.
  1. Visualiser le signal capté en temps réel.
  2. Acquérir le signal (utile pour imprimer...).
  3. Curseurs et grilles, pour des mesures précises.
  4. Visualiser ou pas la figure de diffraction (à désactiver pour épargner l'imprimante).
  5. Réglage de sensibilité.
  6. Simulation et paramétrage: pour superposer une courbe théorique.
logiciel caliens

Diffraction par une fente

Expérience n°1

  1. Placez une fente de largeur $\ell=340\,\mathrm{\mu m}$ et positionnez le capteur à la distance $D=1,40\;\mathrm{m}$. Capturez l'éclairement de l'onde diffractée et repérez précisément la position $x_{k}$ des minima (n'hésitez pas à utiliser le zoom ainsi que les curseurs verticaux).
  2. Dans Regressi, remplissez un tableau avec les variables $k$ et $x_k$.
  3. Portez $x_k$ en fonction de $k$ et choisissez le modèle théorique adéquat qu'il faut ajuster à vos mesures. En déduire la longueur d'onde du laser ainsi que son incertitude.

Expérience n°2

  1. Mesurez l'interfrange $i_{\rm d}$ pour 3 fentes différentes de largeurs $\ell=340$ µm, 280 µm et 100 µm.
  2. Dans Regressi, remplissez un tableau avec les grandeurs $i_{\rm d}$ et $\ell$. Portez $i_{\rm d}$ en fonction du rapport $X=D/\ell$ et choisissez un modèle théorique à ajuster. En déduire la longueur d'onde du laser.

Vos deux mesures de $\lambda$ sont-elles compatibles entre-elles ? Si oui calculez la moyenne et l'incertitude associée. L'indication du laser donne $\lambda=632,8\;\mathrm{nm}$. Commentez.

Diffraction par une ouverture circulaire

On utilise pour cela le support métallique percé de 3 trous de diamètre $d$ respectifs 120, 160 et 400 µm. La procédure de mesure est la même que pour la fente fixe. Le centrage du faisceau sur le trou est particulièrement délicat. Utiliser une lampe pour éclairer l'arrière du trou et ainsi bien le viser avec le laser. Régler précisément l'intensité lumineuse à l'aide des polariseurs. Dans le cas ou l'intensité est trop faible, on retirera le filtre du capteur et l'on éteindra toutes les lumières parasites (un tunnel en carton permet de se protéger de la lumière produite par les autres groupes).

  1. Placez la pupille circulaire de diamètre $d$ = 400 µm sur le trajet du faisceau laser. La tache de diffraction a-t-elle bien l'allure prévue ? Expliquez pourquoi le positionnement de la tache par rapport à la barrette CCD doit être soignée pour pouvoir mesurer le diamètre de la tache d'Airy.
  2. Toujours en fixant $D$ = 1,40 m, mesurez le diamètre de la tache centrale de diffraction (tache d'Airy) pour les trous de diamètre $d$ = 160 et 400 µm. Estimez l'incertitude expérimentale sur la mesure de $\phi$.
  3. Dans Regressi, remplissez un tableau avec les grandeurs $\phi$ et $d$. Portez $\phi$ en fonction du rapport $\lambda D/d$ avec $\lambda=632,8\;\mathrm{nm}$ (affichez les barres d'erreur).
  4. La théorie prévoit une loi de la forme \[\phi=a\frac{\lambda D}{d}\] Cette loi est-elle validée par vos mesures ? Si oui que vaut la constante $a$ ? Le résultat vous semble-t-il cohérent ?

Matériel

  • un laser sur un rail optique ;
  • une caméra CCD ;
  • un ordinateur équipé du logiciel CALIENS qui pilote la caméra ;
  • deux polariseurs pour moduler l'amplitude ;
  • Obstacles diffractants : trous (120-160-400 µm), fentes(340-280-100 µm).