Simulation numérique
Ondes scalaires et vectorielles

Ce TP de simulation numérique se déroule en trois parties:

1. Une partie théorique où on en apprend un peu sur les ondes vectorielles, la polarisation et l'interaction entre lumière et matière.
2. Une partie simulation où il s'agit de tracer l'allure d'ondes, de comprendre le rôle de la longueur d'onde, du vecteur d'onde, de l'espace, du temps et surtout de visualiser les ondes en 2D et 3D pour fixer des images en tête.
3. Enfin, l'utilisation d'emanim, un code python qui trace des ondes dans différentes situations.

Partie théorique.

Cliquer sur le lien suivant pour accéder à la partie théorique.
Elle présente la notion d'onde polarisée rectilignement (PR) et d'onde polarisée circulairement (PC) ainsi que le résultat de la superposition de différentes ondes. Enfin, elle aborde les interactions onde/matière.

Simulons!

Dans cette partie, on utilise un logiciel (python, cocalc, sage, ...) pour visualiser différentes ondes.

1. Une simple courbe 2D y=f(x)
2. Une courbe animée y=f(x,t)
3. Une simple courbe 3D z=f(x,y)

Il est demandé de reproduire les différentes images présentées.

Un graphique simple

Le code python ci-dessous permet de tracer une courbe sinusoïdale. La librairie matplotlib est utilisée pour tracer des courbes.

# -*- coding: utf-8 -*-
# 201707
# une ligne qui commence par un dièse est une ligne de commentaire
# elle n'est pas exécutée par le programme

# on importe des bibliothèques, des fonctions
from math import sin, pi
# pour pouvoir tracer des courbes, on a besoin de 'pyplot' objet du module 'matplotlib'
from matplotlib import pyplot

# temps maximal d'affichage
# écrire 2.0 avec le point définit un nombre flottant (float)
# écrire 2 définit un entier (int)
# pour voir la différence essayer de calculer 1/2 et 1/2.0 ou 1/2. avec le point
Tmax=2.0

# on définit les axes (x,y), auxquels on rajoutera les courbes
ax = pyplot.axes(xlim=(0, Tmax), ylim=(-2, 2))

# nombre d'échantillons
NbEchantillons=100

# on définit les instants de calcul de la courbe
temps=[i*Tmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]
#TEST: print temps

# période
T=0.5

# courbe
macourbe=[sin(2*pi*t/T) for t in temps]
#TEST: print macourbe

# on rajoute la courbe sur le graphique
ax.plot(temps,macourbe)

# on demande l'affichage
pyplot.show()

1. Quelle est la période de la courbe?
2. Tracer s(t)=sin(2*pi*t/T + pi/3)
3. Tracer un cosinus.
4. Comment changer l'amplitude de la courbe?
5. Tracer s(x)=2*x-3

Effet de sous-échantillonnage

Pour afficher une courbe, le logiciel relie des points entre eux. Plus on lui demande un grand nombre de points, plus le calcul est long. Mais attention, avec trop peu de points, on ne reproduit pas fidèlement une courbe.
L'échantillonnage consiste à découper la courbe en segment.

# -*- coding: utf-8 -*-

from math import sin, pi
from matplotlib import pyplot as plt

#temps maximal
Tmax=2.0
# définit la figure
fig = plt.figure()
#définit les axes
ax = plt.axes(xlim=(0, Tmax), ylim=(-2, 2))

#nombre d'échantillons
NbEchantillons=10
NbEchantillons2=100
temps=[i*Tmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]
temps2=[i*Tmax/NbEchantillons2 for i in range(NbEchantillons2)]
#période
T=0.5
#TEST print t
macourbe=[sin(2*pi*t/T) for t in temps]
macourbe2=[sin(2*pi*t/T) for t in temps2]
#TEST print macourbe

ax.plot(temps,macourbe,temps2,macourbe2)
#ax.plot(temps2,macourbe2)

plt.show()

1. Quel est l'effet de l'échantillonnage? Modifier le nombre d'échantillons pour observer ce qui se passe.
2. Quel est le type de donnée de 'macourbe'? Quelle est sa longueur?

Plusieurs courbes.

# -*- coding: utf-8 -*-
# 201707
# une ligne qui commence par un dièse est une ligne de commentaire
# elle n'est pas exécutée par le programme

# on importe des bibliothèques, des fonctions
from math import sin, pi
# pour pouvoir tracer des courbes, on a besoin de 'pyplot' objet du module 'matplotlib'
from matplotlib import pyplot

# temps final
Tmax=2.0

# on définit les axes (x,y), auxquels on rajoutera les courbes
ax = pyplot.axes(xlim=(0, Tmax), ylim=(-2, 2))

# nombre d'échantillons
NbEchantillons=100

# on définit les instants de calcul de la courbe
temps=[i*Tmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]
#TEST: print temps

# période
T=0.5

# pour tracer plusieurs fois la courbe en changeant un paramètre sans tout retaper,
# on définit une fonction
def macourbe(amplitude,periode,phasedegre,t):
	return amplitude*sin(2*pi*t/periode+phasedegre*pi/180)

# courbe
mescourbes=[(macourbe(1,T,0,t),macourbe(1.5,T,30,t)) for t in temps]
#TEST: print mescourbes

# on rajoute la courbe sur le graphique
ax.plot(temps,mescourbes,lw=2)

# on demande l'affichage
pyplot.show()

1. Que réalisent les lignes

   def macourbe(amplitude,periode,phasedegre,t):
   			return amplitude*sin(2*pi*t/periode+phasedegre*pi/180)
   		

2. Quel est le type de donnée de 'mescourbes'?
3. Que change les paramètres 'amplitude' et 'phasedegre'?
4. Comment les degrés sont-ils convertis en radian?

Un peu d'animation.

Les codes ci-dessous ajoutent la dimension temporelle. On ne va plus tracer une courbe unique mais une suite de courbes. Un code python et un code cocalc sont donnés car dans la fonction animation.FuncAnimation de python ne fonctionne pas sous cocalc.

# -*- coding: utf-8 -*-
# 201707

# on importe des bibliothèques, des fonctions
from math import sin, pi
# pour pouvoir tracer des courbes, on a besoin de 'pyplot' objet du module 'matplotlib'
# pour pouvoir créer une animation, on a besoin de matplotlib.animation
from matplotlib import pyplot, animation

# échelle max selon l'axe de propagation
Xmax=10.0

# échelle max selon le temps
Tmax=10.0

# on définit un nom pour la figure et les axes (x,y), auxquels on rajoutera les courbes
fig = pyplot.figure()
ax = pyplot.axes(xlim=(0, Xmax), ylim=(-2, 2))

# nombre d'échantillons
NbEchantillons=100

# on définit les positions de calcul de la courbe
positionsx=[i*Xmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]

temps=[i*Tmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]
# on définit les instants de calcul de la courbe
#TEST: print temps

# période
T=2.0

# vitesse
c=1.0

# courbes: une liste qui contient des listes de valeurs
mescourbes=[[sin(2*pi/T*(t-x/c)) for x in positionsx] for t in temps]

# la virgule sert à unpacker courbe 
courbe, =ax.plot(positionsx,mescourbes[0])

def incrementemps(i):
	courbe.set_ydata(mescourbes[i])
	return courbe,
#TEST: print(mescourbes[32])

# des noms pour les axes
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_title('Une onde?')

# on crée l'animation
line_ani = animation.FuncAnimation(fig, incrementemps, 100, interval=50, blit=False)

pyplot.show()

# le code cocalc est bien plus concis que le code python:
# - pas d'appel aux librairies
# - nombreux raccourcis
reset()

#échelle max selon l'axe de propagation
Xmax=10.0

# échelle max selon le temps
Tmax=10.0

# nombre d'échantillons
NbEchantillons=100

# on définit les instants de calcul de la courbe
temps=[i*Tmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]

T=2 #période
c=1 #vitesse

# courbes: liste d'objets graphiques
mescourbes=[plot(sin(2*pi/T*(t-x/c)),(x,0,Xmax),ymin=-2.5,ymax=2.5) for t in temps]

# animation dans cocalc
monanimation=animate(mescourbes)
# sauvegarde en gif
# monanimation.save("onde.gif")

monanimation.show()

Réaliser l'animation en s'inspirant du code fourni.

1. Que réalise la ligne suivante? Quel est le type de variable retournée?

   mescourbes=[[sin(2*pi/T*(t-x/c)) for x in positionsx] for t in temps]
   		

2. Essayer de tracer une onde qui se propage en sens inverse.

Paquet d'onde.

En réalité, une onde n'est pas sinusoïdale. En particulier, elle a un début et une fin. On parle de paquet d'onde.

# -*- coding: utf-8 -*-
# 201707

#on importe des bibliothèques, des fonctions
from math import sin, exp, pi
#pour pouvoir tracer des courbes, on a besoin de 'pyplot' objet du module 'matplotlib'
#pour pouvoir créer une animation, on a besoin de matplotlib.animation
from matplotlib import pyplot, animation

#échelle max selon l'axe de propagation
Xmax=10.0

#échelle max selon le temps
Tmax=10.0

#on définit un nom pour la figure et les axes (x,y), auxquels on rajoutera les courbes
fig = pyplot.figure()
ax = pyplot.axes(xlim=(0, Xmax), ylim=(-2, 2))

#nombre d'échantillons
NbEchantillons=300
NbEchantillonsT=100

#on définit les positions de calcul de la courbe
positionsx=[i*Xmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]

temps=[i*Tmax/NbEchantillonsT for i in range(NbEchantillonsT)]
#on définit les instants de calcul de la courbe
#TEST: print temps

#période
T=0.33

#vitesse
c=1

#courbes
mescourbes=[[exp(-(t-x/c)**2/1.1)*sin(2*pi/T*(t-x/c)) for x in positionsx] for t in temps]

courbe, =ax.plot(positionsx,mescourbes[0])

def incrementemps(i):
	courbe.set_ydata(mescourbes[i])
	return courbe,
#TEST: print(mescourbes[32])

## on crée l'animation
## blit=False
line_ani = animation.FuncAnimation(fig, incrementemps, 100, interval=50, blit=False)

#enregistrement d'un fichier gif (image animée)
#line_ani.save('animation.gif', writer='imagemagick', fps=10)
#
pyplot.show()

1. Reproduire le graphique animé ci-dessus ci-dessus en s'inspirant du code.

Onde stationnaire.

En additionnant deux ondes (une progressive et une regressive), on peut former une onde stationnaire. Ce résultat est souvent obtenu lors de la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie.

# -*- coding: utf-8 -*-
# 201707

#on importe des bibliothèques, des fonctions
from math import sin, pi
#pour pouvoir tracer des courbes, on a besoin de 'pyplot' objet du module 'matplotlib'
#pour pouvoir créer une animation, on a besoin de matplotlib.animation
from matplotlib import pyplot, animation

#échelle max selon l'axe de propagation
Xmax=10.0

#échelle max selon le temps
Tmax=10.0

#on définit un nom pour la figure et les axes (x,y), auxquels on rajoutera les courbes
fig = pyplot.figure()
ax = pyplot.axes(xlim=(0, Xmax), ylim=(-2, 2))

# nom de l'axe x
ax.set_xlabel('X')
# nom de l'axe y
ax.set_ylabel('Y')
# titre du graphique
ax.set_title('Une onde?')

#nombre d'échantillons
NbEchantillons=100

#on définit les positions de calcul de la courbe
positionsx=[i*Xmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]

#on définit les instants de calcul de la courbe
temps=[i*Tmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]
#TEST: print temps

#période
T=2

#vitesse
c=1

#toutes les courbes
mescourbes=[[sin(2*pi/T*(t-x/c))+sin(2*pi/T*(t+x/c)) for x in positionsx] for t in temps]

# initialisation: première courbe
courbe, =ax.plot(positionsx,mescourbes[0])

# pour utiliser la fonction animation, on a besoin de passer d'un graphique à un autre
# cette fonction incrémente le temps pour recréer un ensemble de valeurs y
def incrementemps(i):
	courbe.set_ydata(mescourbes[i])
	return courbe,

## on crée l'animation
## blit=False
line_ani = animation.FuncAnimation(fig, incrementemps, 100, interval=50, blit=False)

pyplot.show()

1. Quelle est la distance entre deux nœuds? Que peut-on en dire ? Essayer de modifier le code pour modifier la distance entre deux nœuds.

Onde 3D.

Pour tracer une courbe en 3 dimensions, on doit ajouter une variable d'espace...

# -*- coding: utf-8 -*-
# O.Frantz 201707

# on importe des bibliothèques, des fonctions
from math import sin, pi
# pour pouvoir tracer des courbes, on a besoin de 'pyplot' objet du module 'matplotlib'
from matplotlib import pyplot
# librairie 3D
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as p3

#max en x
Xmax=10.0

# cree une figure
# figaspect(1)= ratio de 1 entre les axes
fig = pyplot.figure(figsize=pyplot.figaspect(1))
# on définit les axes (x,y,z), auxquels on rajoutera les courbes
ax = p3.Axes3D(fig)

# proprietes des axes
ax.set_xlim3d([0.0, Xmax])
ax.set_xlabel('x')
#ax.set_ylim3d([-1.2, 1.2])
ax.set_ylabel('y')
#ax.set_zlim3d([1.2, 1.2])
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('3D')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['top'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_color('none')
ax.spines['right'].set_color('none')

#nombre d'échantillons
NbEchantillons=500

#on définit les endroits où la courbe est évaluée
axeX=[i*Xmax/NbEchantillons for i in range(NbEchantillons)]

#période (longueur d'onde)
L=2

# une fonction pour calculer plus vite l'onde
def mononde(amplitude,periode,phasedegre,x):
	return amplitude*sin(2*pi*x/periode+phasedegre*pi/180)

# courbe: deux composantes déphasées de 90 degrés
monondeY=[mononde(1,2,0,x) for x in axeX]
monondeZ=[mononde(1,2,90,x) for x in axeX]

# on rajoute la courbe sur le graphique
ax.plot(axeX,monondeY,monondeZ)

#on demande l'affichage
pyplot.show()
			

reset()

# x est la variable, l'onde se propage selon l'axe (Ox)
var('x')

# on définit une fonction opph
opph(x,t,A,w,k,ph)=A*cos(w*t-k*x+ph)

# l'onde 3d comporte deux composantes qui oscillent, selon Oy et Oz.
onde3d=[x,opph(x,0,1,1,1,0),opph(x,0,1,1,1,pi/2)]

# pour tracer en 3d
parametric_plot3d(onde3d,(x,0,10))
			

1. Quelle est la polarisation présentée sur la figure ci-dessus?
2. Modifier le code pour modifier la polarisation et ainsi obtenir une polarisation rectiligne à 45 degrés des axes.

EMANIM

Nous allons utiliser l'application emanim, code écrit en python par András Szilágyi: EMANIM. On peut utiliser le logiciel sans installer quoi que ce soit, en suivant le lien précédent et en utilisant un navigateur internet compatible. Pour le faire tourner sur sa machine personnelle, il faut installer le module visual: vpython.org. Ensuite, il faut télécharger le code (clic "droit" puis "sauver le lien sous") et le sauvegarder dans le répertoire personnel avant de l'exécuter.

1. Visualiser des ondes polarisées circulairement (PC), gauche ou droite, sous différents point de vue.
2. Lorsque l'onde polarisée circulairement droite arrive vers l'observateur, tourne-t-elle dans le sens trigonométrique ou horaire ?
3. Peut-on comparer cela au sens de rotation du volant d'une voiture ?
4. Additionner deux ondes rectilignes (PR) pour fabriquer une onde circulaire (PC).
5. Quel doit être le déphasage entre les deux ondes PR pour fabriquer une PC? L'amplitude ?
6. En ajoutant deux ondes qui se propagent en sens contraire, on peut former une onde stationnaire. Observer les nœuds et les ventres.
7. On introduit un milieu réfringent transparent (par exemple, du verre, du plastique, un cristal etc) sur le chemin de l'onde. Que peut-on dire de la vitesse de l'onde dans le milieu ? Que peut-on dire de sa longueur d'onde ?

Dans une dernière simulation, le milieu considéré possède un pouvoir rotatoire : c'est le phénomène de biréfringence circulaire ; le milieu est doté de deux indices de réfraction différents selon la polarisation circulaire gauche ou droite.
En conséquence, une onde polarisée rectilignement qui pénètre dans le milieu voit son plan de polarisation tourner !
Cette propriété est utilisée en chimie pour mesurer des concentrations car l'activité optique lui est proportionnelle. Le TP 6 de physique de 2e année propose cette manipulation.
Observer comment évoluent les différentes ondes dans le milieu.