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TP : Mesure de la vitesse du son

Objectif

Ce TP utilise un dispositif inventé en 1866 par August Adolph Kundt1 qui permet de mesurer la vitesse du son dans les gaz à partir des ondes acoustiques stationnaires qui y règnent.

Prérequis

notions élémentaires sur les ondes.

Aspects théoriques

Les ondes acoustiques

Une onde acoustique est une perturbation de la pression locale qui se propage au sein d'un milieu matériel. Cette perturbation s'accompagne d'une variation de densité se propageant à la même vitesse. Il s'agit donc d'une onde scalaire et longitudinale.

Rappel

Une onde est longitudinale lorsque la vibration a la même direction que la propagation. Une onde est transversale quand la vibration est perpendiculaire à la direction de propagation. La lumière est une onde transversale et le son est une onde longitudinale.

Si l'on considère une propagation suivant l'axe des $x$, la pression locale $P(x,t)$ s'écrit \[ P(x,t)=P_{0}+p(x,t)\] où $P_{0}$ est la pression moyenne ($\simeq$ 1 atm ici) et $p(x,t)\ll P_{0}$ la perturbation de pression. On montre que $p(x,t)$ vérifie l'équation d'onde \[ \frac{\partial^{2}p}{\partial x^{2}}-\frac{1}{{c_{\mathrm{s}}}^{2}}\frac{\partial^{2}p}{\partial t^{2}}=0\] avec $c_{\mathrm{s}}$ la vitesse du son. Dans un gaz de masse molaire $M$ et de température $T$, on a

\begin{equation} \boxed{\displaystyle c_{\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{\gamma\,R\,T}{M}} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{rcl} \gamma & = & \dfrac{C_{\rm p}}{C_{\rm v}} \\[2mm] R & = & 8,315\,\mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}} \end{array}\right.} \label{eq:vitesse_du_son_dans_un_gaz} \end{equation}

La détermination de la vitesse du son dans un gaz permet donc de déduire des grandeurs thermodynamiques telles que les capacités thermiques $C_{\rm p}$ et $C_{\rm v}$.

Les solutions de l'équation d'onde sont de la forme \[ p(x,t)=f(t-x/c_{\mathrm{s}})+g(t+x/c_{\mathrm{s}}) \] où $f(t-x/c_{\mathrm{s}})$ est une onde qui se propage vers les $x>0$ et $g(t+x/c_{\mathrm{s}})$ une onde se propageant vers les $x<0$.

Pour une onde harmonique de pulsation $\omega$, de fréquence $\nu=\omega/2\pi$ on écrira : \[p(x,t)=A_{+}\cos\left(\omega(t-x/c_{\mathrm{s}})+\phi_{+}\right)+A_{-}\cos\left(\omega(t+x/c_{\mathrm{s}})+\phi_{-}\right)\] Enfin, par définition, la longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période :

\begin{equation} \boxed{\displaystyle \lambda=\frac{c_{\mathrm{s}}}{\nu}=\frac{2\pi c_{\mathrm{s}}}{\omega}} \end{equation}

Pour un son audible se propageant dans l'air, la longueur d'onde peut varier entre quelques mm et quelques m.

Ondes stationnaires

Lorsque l'on envoie une onde progressive sur un obstacle en incidence normale, celui-ci la renvoie dans l'autre sens. Cette onde réfléchie interfère avec l'onde incidente pour former une onde qui sera dite stationnaire si l'obstacle est parfaitement réfléchissant.

Onde stationnaire
Variations spatiales de onde stationnaire de fréquence 1000 Hz pour les instants $t=0,\ldots,1$ ms.

Démonstration

Considérons le cas où l'obstacle, fixé en O, réfléchit complètement l'onde incidente (i pour incident et r pour réfléchi) et intéressons au déplacement $\epsilon(x,t)$ d'une particule d'air situé en $x$ à l'instant $t$ (le déplacement des particules fluides obéit à la même équation d'onde) : \[\epsilon(x,t)=A_{\mathrm{r}}\cos\left(\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}+\phi_{\mathrm{r}}\right)+A_{\mathrm{i}}\cos\left(\omega t+\frac{2\pi x}{\lambda}+\phi_{\mathrm{i}}\right)\] L'obstacle étant fixe, le déplacement du fluide est nul à la surface de celui-ci. Par conséquent, en $x=0$, on a \[0=A_{\mathrm{r}}\cos(\omega t+\phi_{\mathrm{r}})+A_{\mathrm{i}}\cos(\omega t+\phi_{\mathrm{i}})\quad \forall t\] ce qui implique \[\phi_{\mathrm{r}}=\phi_{\mathrm{i}}+\pi \quad\text{et}\quad A_{\mathrm{r}}=A_{\mathrm{i}}\] L'onde réfléchie est en opposition de phase avec l'onde incidente de sorte que l'onde résultante s'écrit \[\epsilon(x,t)=-2A_{\mathrm{i}}\sin(\omega t+\phi_{\mathrm{i}})\sin\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\] Si le signal acoustique est une onde sinusoïdale d'amplitude $a$ produite par un haut parleur placé en $x=L$, on a une autre condition aux limites : \[\epsilon(L,t)=a\sin\omega t=-2A_{\mathrm{i}}\sin(\omega t+\phi_{\mathrm{i}})\sin\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right) \quad\Rightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcl} \phi_{\mathrm{i}} & = & 0 \\ -2A_{\mathrm{i}}\;\sin\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right) & = & a \end{array}\right.\] d'où l'on déduit \[\epsilon(x,t)=a\;\frac{\sin\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)}{\sin\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right)}\sin(\omega t)\] L'onde est donc stationnaire en ce sens qu'elle s'exprime comme $\epsilon(x,t)=f(x)g(t)$ : il n'y a plus propagation.

Il existe des points de l'espace, appelés nœuds où l'amplitude est constamment nulle. Ces nœuds sont tels que $2\pi x/\lambda=k\pi$. Ainsi, deux nœuds voisins sont séparés par

\begin{equation} \boxed{\displaystyle d_{nn}=\frac{\lambda}{2}} \label{eq:distance_entre_deux_noeuds} \end{equation}

Les points de l'espace où l'onde passe par une amplitude maximale sont les ventres de l'onde stationnaire. Ils vérifient $\frac{2\pi x}{\lambda}=(2k+1)\frac{\pi}{2}$ de sorte qu'ils sont séparés par

\begin{equation} \boxed{\displaystyle d_{vv}=\frac{\lambda}{2}} \label{eq:distance_entre_deux_ventres} \end{equation}

Résonance d'une onde stationnaire

L'amplitude des ventres dépend du terme \[\sin\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right)\] Lorsque ce terme est nul, l'onde est théoriquement infini sur les ventres. Bien sûr, pour des raisons évidentes (dissipation d'énergie) l'amplitude n'est pas infinie mais grande. On est alors en présence d'une résonance d'onde stationnaire qui se présente lorsque la cavité a pour longueur un multiple de $\lambda/2$ ce qui se produit pour certaines fréquences de résonance

\begin{equation} \boxed{\displaystyle L=k\frac{\lambda}{2}\Rightarrow \nu_{k}=k\frac{c_{\mathrm{s}}}{2L} } \label{eq:TP4resonance}\end{equation}

Cette condition de résonance est mise à profit dans les caisses de résonance des instruments de musique pour amplifier certaines harmoniques.

Remarque

La formule précédente donne les fréquences de résonance d'une onde stationnaire unidimensionnelle ce qui suppose que le diamètre du tube est grand devant la longueur d'onde. La relation \eqref{eq:TP4resonance} n'est donc valable que pour les petites longueurs d'onde c'est-à-dire pour les hautes fréquences.

Manipulation

Le tube de Kundt

Kundt

Il s'agit d'un cylindre dans lequel un haut-parleur envoie une onde acoustique. On place un obstacle dans le tube, de façon à former une cavité cylindrique dans laquelle règne un système d'onde quasi-stationnaire. Le Haut parleur est alimenté par un GBF en mode sinus. On modifie l'amplitude de la tension à l'aide du bouton LEVEL et la fréquence avec FREQ.

Le microphone est un transducteur qui produit une tension proportionnelle à l'onde de pression. Il peut coulisser dans la cavité pour enregistrer le signal acoustique en un point donné. Le signal sortant du microphone est amplifié puis envoyé sur un oscilloscope.

Première mesure de $c_{\mathrm{s}}$ (1 H max)

Le principe consiste à mesurer la longueur d'onde pour différentes fréquences à partir de la position des ventres et des nœuds. Procédez comme suit

  • Fixez la longueur de la cavité à la valeur $L$ = 70 cm et la fréquence à la valeur $\nu$ = 400 Hz.
  • Après avoir allumer l'amplificateur du microphone, observez le signal à l'oscilloscope et vérifiez que l'amplificateur ne sature pas (sinon, faites en sorte d'éliminer la saturation en diminuant le facteur d'amplification).
  • Si le signal fluctue à cause du bruit ambiant capté par le micro, on peut l'éliminer par une opération de moyenne : dans le panneau -Menu-, appuyez sur Acquire $\blacktriangleright$ Acquisition $\blacktriangleright$ Average et ajustez à la valeur 16.
  • Observez l'alternance de nœuds et ventres en déplaçant le microphone. Mesurer la longueur d'onde $\lambda$ à l'aide de la position des nœuds et des ventres. On cherchera à être précis.
  • Pour chaque mesure on estimera l'incertitude sur $\lambda$.
  • Répétez l'opération pour les fréquences 600, 800, 1000, 1200, 1400, 1600, 1800 et 2000 Hz.
  • Remplissez dans Regressi un tableau avec les grandeurs $\nu$ et $\lambda$. Portez $\lambda$ en fonction de $1/\nu$. Peut-on dire, compte tenu des incertitudes que la longueur d'onde est proportionnelle à $1/\nu$ ? Qu'est ce que cela signifie ?
  • En déduire la vitesse du son (n'oubliez pas son incertitude donnée par Regressi).

Deuxième mesure de $c_{\mathrm{s}}$

La détermination des fréquences de résonance permet de déduire la vitesse du son à l'aide de la formule \eqref{eq:TP4resonance}. Procédez comme suit :

  • Fixez la longueur de la cavité à la valeur $L$ = 70 cm et la fréquence à la valeur $\nu$ = 200 Hz.
  • Fixez le microphone au voisinage du piston : il se trouve alors sur un ventre de pression.
  • Faites croître la fréquence et repérez les 10 premières fréquences de résonance qui rendent l'amplitude du ventre maximum.
  • Remplissez dans Regressi un tableau avec les valeurs $k$ et $\nu_k$. Portez $\nu_{k}$ en fonction de $k$. déduire une autre détermination de la vitesse du son dans l'air. Expliquez la démarche.

Confrontez les deux valeurs de la vitesse du son. Ces deux mesures sont elles compatibles ? Si oui, calculez la valeur moyenne ainsi que son incertitude.

Calcul du facteur $\gamma$ de l'air

Mesurez la température de la salle puis calculez le facteur $\gamma$ de l'air ainsi que son incertitude (on pourra négliger l'incertitude sur la température et la masse molaire).

Donnée : La masse molaire de l'air vaut 29,0 g/mol.

Attention : ne pas oublier d'éteindre le petit ampli en fin de manip !

Matériel

  • Un tube de Kundt avec le haut-parleur associé ;
  • un microphone et son amplificateur ;
  • un générateur basse fréquence (GBF);
  • un oscilloscope numérique RIGOL DS 1102E.

1. A.A. Kundt (1839-1894) : Physicien allemand qui fut professeur au Polytechnique de Zürich en 1868 et à Würzburg à partir 1869. Fondateur en 1872 de l'Institut Physique de Strasbourg, il finit sa carrière en tant que directeur de l'institut physique de Berlin.}