TP de mécanique : table à coussin d'air

Dans cette séance, nous allons manipuler une table à coussin d'air dans le but de vérifier quelques lois de base de la mécanique. En réalité, ce n'est pas la table qui a des coussins d'air mais les mobiles qui se déplaceront donc sans frottement sur la table de verre.

Les mobiles sont munis d'une électrode centrale qui, en noircissant le papier conducteur disposé sur la table, permet de marquer la position des mobiles en fonction du temps (on peut choisir l'intervalle de temps de mesure).

Détermination de l'accélération de la pesanteur à l'aide du PFD

Rappels

• Dans un référentiel galiléen, c'est-à-dire un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié, la deuxième loi de Newton, appelée aussi principe fondamental de la dynamique (PFD), s'écrit \[ \sum \overrightarrow{F}_\mathrm{ext} = m\,\overrightarrow{a} \]
• Les formules liant position, vitesse et accélération sont \[ \overrightarrow{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{\mathrm{d}t} \hspace{1cm} \overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t} \] Lorsque l'on dispose d'une chronophotographie, c'est-à-dire que l'on a la trajectoire d'un mobile représentée par un ensemble de points $\mathrm{M_i}$, la vitesse instantanée peut se calculer à l'aide de la formule \[ v_i = \dfrac{\mathrm{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\,\Delta t} \] où $\mathrm{M_{i-1}M_{i+1}}$ représente la distance entre les points d'indice i-1 et i+1 et $2\Delta t$ l'intervalle de temps entre ces points.
• La quantité de mouvement d'un système de masse $m$ et de vitesse $\overrightarrow{v}$ s'écrit \[ \overrightarrow{p} = m\,\overrightarrow{v} \]
• Lors d'un choc élastique, il y a conservation de la quantité de mouvement \[ \overrightarrow{p}_1 + \overrightarrow{p}_2 = \overrightarrow{p'}_1 + \overrightarrow{p'}_2 \] Et de l'énergie cinétique \[ \frac12\,m\,{v_1}^2+\frac12\,m\,{v_2}^2 = \frac12\,m\,{v'_1}^2 +\frac12\,m\,{v'_2}^2 \] Les grandeurs primées sont les grandeurs après choc ($v'_1$ est la vitesse du corps 1 après le choc.)

Principe de l'expérience

On relie un mobile à coussin d'air de masse $M$ à l'aide d'un fil (inextensible et sans masse) à une masse $m$ par l'intermédiaire d'une poulie (dont la masse est également négligeable).
Le mobile est initialement à l'arrêt, à $t=0$ on le libère tout en déclenchant l'enregistrement des positions de son centre d'inertie.

On cherche la valeur de l'intensité de la pesanteur.

Manipulation

1. Placer une feuille conductrice (côté bleuté sur le dessus) sur la table à coussin d'air, puis disposer les deux mobiles sur la feuille (cela permet de fermer le circuit électrique de marquage).
2. On utilisera le mobile possédant une bague à scratch. Le relier au fil munie de la masse, faire pendre cette masse par l'intermédiaire de la poulie.
3. On prendra un intervalle de temps de mesure de $\Delta t = 40\,\mathrm{ms}$. Faire un enregistrement de la trajectoire rectiligne accéléré du mobile.
4. \(\spadesuit\) Exploiter l'enregistrement afin de tracer, sous le logiciel Regressi ou un autre tableur (Excel), la courbe $v=f(t)$.
5. \(\spadesuit\) En déduire une valeur de l'accélération $a$ du mobile.
6. \(\spadesuit\) A partir de vos travaux de préparation, trouvez la valeur de l'intensité de la pesanteur. Discuter la valeur obtenue.

Mouvement parabolique

Principe de l'expérience

Le mobile à coussin d'air est lancée à l'aide d'un ressort dans une trajectoire parabolique, la table ayant été préalablement inclinée à l'aide de six cales en métal.
L'enregistrement des positions du mobiles en fonction du temps permet d'obtenir des vecteurs vitesses ainsi que des vecteurs accélérations.

On cherche une nouvelle fois l'intensité de la pesanteur.

Manipulation

1. Enregistrer la trajectoire parabolique d'un mobile, le dispositif lanceur sera orienté à 45$^\circ$ environ, la force de lancer sera réglée au maximum. On prendra un intervalle de temps de 60 ms entre les points.
2. Numéroter les positions du mobile, de 0 à $n$.
3. Tracer les vecteurs vitesse en position 3 et 5 puis le vecteur accélération en position 4. Choisir des échelles de vitesse et d'accélération adaptées.
4. A l'aide de votre préparation, mesurez l'angle d'inclinaison de la table.
5. \(\spadesuit\) En déduire la valeur de l'intensité de la pesanteur. Discuter la valeur obtenue.

Choc élastique

Principe de l'expérience

On utilise deux mobiles à coussin d'air, dont l'un est muni d'une surcharge. Ils sont tous les deux équipés de bagues à ressorts permettant de simuler un choc élastique.
Après enregistrement de la trajectoire des deux mobiles avant et après le choc, on vérifie quelques propriétés de ce type de collision.

Manipulation

1. Enregistrer le choc élastique entre les deux mobiles (on prendra $\Delta t = 60\,\mathrm{ms}$). Essayer d'avoir une trajectoire "en sablier" c'est-à-dire qu'avant le choc, les mobiles avancent dans le même sens avec des directions qui se croisent.
2. Numéroter les positions des deux mobiles, repérer la trajectoire du mobile le plus massique.
3. Trajectoire du centre de masse
   • Joindre par des lignes les positions des deux mobiles de même numéro ;
   • Sur celles-ci (quelques-unes consécutives), déterminer puis repérer la position du centre d'inertie du système (s'aider de la préparation, il faudra mesurer la masse des deux mobiles);
   • \(\spadesuit\) Quel mouvement a-t-il ? Justifier votre réponse.
4. Variation de vitesse des deux mobiles
   Avant et après le choc, la trajectoire de chaque mobile est rectiligne uniforme.
   • Tracer le vecteur variation de vitesse $\Delta \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v_1}' - \overrightarrow{v_1}$ du mobile n$^\circ$1 ($\overrightarrow{v_1}'$ vitesse après le choc, $\overrightarrow{v_1}$ vitesse avant le choc). On aura pris soin de choisir une échelle de vitesse adéquate ;
   • Faire de même pour le mobile n$^\circ$2 ;
   • \(\spadesuit\) Comparer ces deux vecteurs en sens et en direction.
   • \(\spadesuit\) D'après vous, peut-on trouver un rapport entre leur norme ? Expliciter votre réponse.
5. Conservation de la quantité de mouvement
   Rappel : avant et après le choc, la trajectoire de chaque mobile est rectiligne uniforme.
   Montrer par construction vectorielle que $\overrightarrow{p_1} + \overrightarrow{p_2} = \overrightarrow{p_1}' + \overrightarrow{p_2}'$. Il faudra ici aussi choisir une échelle adaptée.

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