TP de mécanique : table à coussin d'air

Dans cette séance, nous allons manipuler une table à coussin d'air dans le but de vérifier quelques lois de base de la mécanique. En réalité, ce n'est pas la table qui a des coussins d'air mais les mobiles qui se déplaceront donc sans frottement sur la table.

Les mobiles sont munis d'une électrode centrale qui, en noircissant le papier conducteur disposé sur la table, permet de marquer la position des mobiles en fonction du temps (on peut choisir l'intervalle de temps de mesure).

Par souci d'économie, on utilisera UNE SEULE FEUILLE PAR GROUPE DE TP pour les trois manipulations. Il faut donc enregistrer les mouvements judicieusement sur la feuille pour avoir assez de place (mouvement rectiligne en haut de la feuille, mouvement parabolique en bas, étude de la collision au milieu).

Détermination de l'accélération de la pesanteur à l'aide du PFD

Rappels

• Dans un référentiel galiléen, c'est-à-dire un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié, la deuxième loi de Newton, appelée aussi principe fondamental de la dynamique (PFD), s'écrit \[ \sum \overrightarrow{F}_\mathrm{ext} = m\,\overrightarrow{a} \quad \heartsuit \]
• Les formules liant position, vitesse et accélération sont \[ \overrightarrow{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{\mathrm{d}t}\quad \heartsuit \hspace{1cm} \overrightarrow{a} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}\quad \heartsuit \] Lorsque l'on dispose d'une chronophotographie, c'est-à-dire que l'on a la trajectoire d'un mobile représentée par un ensemble de points $\mathrm{M_i}$, la vitesse instantanée peut se calculer à l'aide de la formule \[ v_i = \dfrac{\mathrm{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\,\Delta t} \quad \heartsuit \] où $\mathrm{M_{i-1}M_{i+1}}$ représente la distance entre les points d'indice i-1 et i+1 et $2\Delta t$ l'intervalle de temps entre ces points. Cela permet d'obtenir la norme du vecteur vitesse et donc de tracer le vecteur vitesse.
  Pour obtenir la vitesse en fonction du temps puis tracer la courbe $v=f(t)$, il est plus facile de travailler comme on le fait en TD : on relève la position du mobile au cours du temps sur un axe O$x$, on dérive cette position pour avoir la vitesse.
• La quantité de mouvement d'un système de masse $m$ et de vitesse $\overrightarrow{v}$ s'écrit \[ \overrightarrow{p} = m\,\overrightarrow{v} \quad \heartsuit \]
• Lors d'un choc élastique, il y a conservation de la quantité de mouvement \[ \overrightarrow{p}_1 + \overrightarrow{p}_2 = \overrightarrow{p'}_1 + \overrightarrow{p'}_2 \quad \heartsuit \] Et de l'énergie cinétique \[ \frac12\,m\,{v_1}^2+\frac12\,m\,{v_2}^2 = \frac12\,m\,{v'_1}^2 +\frac12\,m\,{v'_2}^2 \quad \heartsuit \] Les grandeurs primées sont les grandeurs après choc ($v'_1$ est la vitesse du corps 1 après le choc.)

Principe de l'expérience

On relie un mobile à coussin d'air de masse $M$ à l'aide d'un fil (inextensible et sans masse) à une masse $m$ par l'intermédiaire d'une poulie (dont la masse est également négligeable).
Le mobile est initialement à l'arrêt, à $t=0$ on le libère tout en déclenchant l'enregistrement des positions de son centre d'inertie.

On cherche la valeur de l'intensité de la pesanteur.

Manipulation

1. Une feuille conductrice est déjà placée sur la table. Lui superposer une feuille de papier blanc. Disposer les deux mobiles sur la feuille (cela permet de fermer le circuit électrique de marquage).
2. On utilisera le mobile possédant une bague à scratch. Le relier au fil munie de la masse, faire pendre cette masse par l'intermédiaire de la poulie.
3. On prendra un intervalle de temps de mesure de $\Delta t = 40\,\mathrm{ms}$. Faire un enregistrement de la trajectoire rectiligne accéléré du mobile. Ne faites pas comme dans la vidéo : retenez le mobile avant la fin de la table !
4. \(\spadesuit\) Exploiter l'enregistrement afin de tracer, sous le logiciel Regressi la courbe $v=f(t)$.
5. \(\spadesuit\) En déduire une valeur de l'accélération $a$ du mobile.
6. \(\spadesuit\) A partir de vos travaux de préparation, trouvez la valeur de l'intensité de la pesanteur. Discuter la valeur obtenue.

Mouvement parabolique

Principe de l'expérience

Le mobile à coussin d'air est lancée à l'aide d'un ressort dans une trajectoire parabolique, la table ayant été préalablement inclinée à l'aide de six cales en métal.
L'enregistrement des positions du mobiles en fonction du temps permet d'obtenir des vecteurs vitesses ainsi que des vecteurs accélérations.

On cherche une nouvelle fois l'intensité de la pesanteur.

Manipulation

1. Enregistrer la trajectoire parabolique d'un mobile, le dispositif lanceur sera orienté de plus de 45$^\circ$, la force de lancer sera réglée au maximum. On souhaite avoir une belle trajectoire en cloche.
2. Numéroter les positions du mobile, de 0 à $n$ à partir du moment où le mobile est en "chute libre", c'est à dire quand il a été libéré du dispositif lanceur.
3. Tracer les vecteurs vitesse pour deux positions du début de la trajectoire (par exemple en position 5 et 7 en étant sûr que le mobile ralenti entre les deux positions) puis le vecteur accélération au numéro intermédiaire (donc 6 pour l'exemple). Choisir des échelles de vitesse et d'accélération adaptées (les vecteurs ne doivent pas être ni trop petit ni trop grand).
4. A l'aide de votre préparation, mesurez l'angle d'inclinaison de la table.
5. \(\spadesuit\) En déduire la valeur de l'intensité de la pesanteur. Discuter la valeur obtenue.

Choc élastique

Principe de l'expérience

On utilise deux mobiles à coussin d'air, dont l'un est muni d'une surcharge. Ils sont tous les deux équipés de bagues à ressorts permettant de simuler un choc élastique.
Après enregistrement de la trajectoire des deux mobiles avant et après le choc, on vérifie quelques propriétés de ce type de collision.

Manipulation

1. Enregistrer le choc élastique entre les deux mobiles . Essayer d'avoir une trajectoire "en sablier" c'est-à-dire qu'avant le choc, les mobiles avancent dans le même sens avec des directions qui se croisent.
2. Numéroter les positions des deux mobiles lorsque ceux-ci sont en mouvement rectiligne uniforme : pour cela, il faut repérer l'instant du choc pour les deux mobiles, attribuer le même numéro à cette position puis numéroter dans un deuxième temps les autres positions.
3. Trajectoire du centre de masse
   • Joindre par des lignes les positions des deux mobiles de même numéro.
   • Sur celles-ci, déterminer puis repérer la position du centre d'inertie du système (s'aider de la préparation, il faudra mesurer la masse des deux mobiles). Faire cela pour des positions avant le choc et après le choc.;
   • \(\spadesuit\) Quel mouvement a-t-il ? Justifier votre réponse.
4. Variation de vitesse des deux mobiles
   Avant et après le choc, la trajectoire de chaque mobile est rectiligne uniforme.
   • Tracer le vecteur variation de vitesse $\Delta \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v'_1} - \overrightarrow{v_1}$ du mobile n$^\circ$1 ($\overrightarrow{v'_1}$ vitesse après le choc, $\overrightarrow{v_1}$ vitesse avant le choc). On aura pris soin de choisir une échelle de vitesse adéquate ;
   • Faire de même pour le mobile n$^\circ$2 ;
   • \(\spadesuit\) Comparer ces deux vecteurs en sens et en direction.
   • \(\spadesuit\) D'après vous, peut-on trouver un rapport entre leur norme ? Explicitez votre réponse.
5. Conservation de la quantité de mouvement
   Rappel : avant et après le choc, la trajectoire de chaque mobile est rectiligne uniforme.
   Montrer par construction vectorielle que $\overrightarrow{p_1} + \overrightarrow{p_2} = \overrightarrow{p'_1} + \overrightarrow{p'_2}$. Il faudra ici aussi choisir une échelle adaptée.

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