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TP : dipôles passifs

Objectif : se familiariser avec les dipôles passifs et les filtres électriques.

Le condensateur

Théorie : charge et décharge d’un condensateur

Charge

Considérons le circuit de la figure 1. Fermons l’interrupteur et appliquons la loi des mailles: \begin{equation} E = U_R + u_C \Longrightarrow E = R\,i + u_C \Longrightarrow E = R\,C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C \end{equation} L'équation différentielle qui régit la charge du condensateur sous la tension $E$ est donc : \begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{RC} = \dfrac{E}{RC} \end{equation} Ainsi lorsque condensateur se charge sous la tension \(E\). La tension à ses bornes est donnée par la relation :
\begin{equation*}\boxed{u_C(t) = E \left(1-e^{-\dfrac{t}{\tau}}\right)}\end{equation*} avec \(\tau = RC\), la constante de temps du circuit.

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Montage électrique (à gauche) et courbe de charge du condensateur (à droite).

Décharge

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Courbe de décharge du condensateur

Si le condensateur, précédemment chargé sous la différence de potentiel \(E\), se décharge maintenant dans une résistance \(R\) ; la tension à ses bornes est de la forme :

\begin{equation*}\boxed{u_C(t) = E\,e^{-\dfrac{t}{\tau}}}\end{equation*}

Ceci est la solution de l'équation différentielle: \begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{RC} = 0 \end{equation}

Alors pour \(t = \tau\), \(u = 0,37\,E\).

Attention ! Un GBF possède une résistance interne de \(50\,\mathrm{\Omega}\), dans un circuit (en série), celle-ci vient s'ajouter aux résistances des autres composants du circuit.

Manipulation

Résistance et condensateur
Résistances et condensateurs : les valeurs des dipôles diffèrent selon votre paillasse
(cliquez pour agrandir)

Pour des constantes de temps faibles, inférieures à 1 seconde, l’observation de la charge et de la décharge est possible à l’oscilloscope.

On utilise alors comme source de tension une sortie particulière du GBF appelé sortie TTL. Le GBF délivre alors une tension créneau entre 0 et 5V, seule la fréquence de cette tension est réglable.

  1. Prendre \(R\) et \(C\) positionnés dans un boîtier plastique.
  2. \(\spadesuit\) Noter les valeurs de \(R\) et \(C\) puis calculer alors la constante de temps théorique \(\tau_{\mathrm{th}} = RC\) (prendre en compte le résistance interne du GBF).
    Calculer l'incertitude sur cette valeur sachant que la précision constructeur sur chaque composant est de 1%.
  3. Réaliser le montage ci-dessous
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    Etude expérimentale du condensateur

    Le GBF doit être branché sur sa sortie "Output TTL".
    les voies 1 et 2 représentent les branchements de l'oscilloscope. Pour apprendre à faire correctement ce type de montage électrique, visionnez la vidéo suivante:
  4. Réalisation d'un montage électrique
    Réalisation d'un montage électrique avec oscilloscope
    (cliquez pour agrandir)

  5. Choisir une fréquence pour que la charge et la décharge soient atteintes : \(T\), la période du créneau, doit être assez grande, mais pas trop importante afin que les mesures puissent être correctement menées (charge et décharge suffisamment dilatées) \(\Rightarrow f\simeq \dfrac{1}{10\tau}\)
  6. Visualiser les tensions sur l’oscilloscope en position DC.
  7. \(\spadesuit\) Utiliser convenablement cet oscillogramme (en justifiant) avec une des relations vues dans la partie théorique "charge et décharge du condensateur" pour déterminer une valeur expérimentale \(\tau_{\mathrm{exp}}\) de la constante de temps.
    Utilisez par exemple les curseurs (il existe des curseurs suiveurs : il est possible de les déplacer le long des courbes et d'obtenir l'abscisse et l'ordonnée de leur position), dilatez convenablement vos échelles pour bien voir la partie du phénomène qui permet la mesure.
    Estimer l'incertitude sur cette mesure.
    \(\spadesuit\) Comparer la valeur expérimentale à la valeur théorique en tenant compte des incertitudes.

Association résistance-condensateur : filtre électrique

Si on impose au circuit précédent un régime sinusoïdal, l'association d'une résistance et d'un condensateur devient un filtre électrique : le signal sinusoïdal d'entrée, reste sinusoïdal en sortie, mais avec des caractéristiques modifiées, notamment sa phase (déphasage par rapport au signal d'entrée) et son amplitude.
Nous nous proposons d'étudier un type de filtre dans cette manipulation.

Courbes et méthodes de mesures

Dans cette manipulation, nous allons tracer deux courbes caractéristiques d'un filtre :

  • La courbe de gain en fonction de la fréquence : \(G = f(f)\) où \(G =\dfrac{V_s}{V_e}\) avec \(V_s\) l'amplitude du signal de sortie et \(V_e\) l'amplitude du signal d'entrée ;
  • La courbe de déphasage en fonction de la fréquence : \(\phi = f(f)\) où \(\phi\) est le déphasage de la tension de sortie sur la tension d'entrée.

On travaillera sur des fréquences allant de \(f=20\,\mathrm{Hz}\) à \(f=10\,\mathrm{kHz}\).

Ces courbes sont représentées sur un axe des abscisses logarithmiques (à paramétrer dans Regressi).

On réalisera une dizaine de mesures du couple gain-phase.

Mesure de la fréquence

Celle-ci sera lue directement sur le GBF qui impose la tension d’entrée au filtre. Vous évaluerez son incertitude grâce à une plage de valeurs acceptables.

gbf
Générateur basses fréquences (GBF)
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Mesure du déphasage

Qu’est-ce qu’un déphasage ?

Le déphasage est une notion que l’on ne rencontre pas seulement en électricité :

Par exemple dans l’étude d’un oscillateur comme le pendule simple, on remarque que la vitesse et l’amplitude sont déphasées de 90$^\circ$ (\(\pi/2\)) : cela signifie que lorsque l’amplitude des oscillations est maximum, la vitesse est nulle, que lorsque la vitesse est maximum, l’amplitude est nulle.

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Notion de déphasage : déphasage de $\pi/2$

Ainsi, si on trace sur un graphique la courbe de vitesse et d’amplitude en fonction du temps, on obtient la figure ci-contre.

Dans ce cas, on dit même que l’amplitude est en avance (déphasage positif) de phase de +\(\pi/2\) par rapport à la vitesse, le pic de la courbe d’amplitude est à gauche de celui de la courbe de vitesse.

Voici ce que l'on obtiendrait si les deux courbes étaient déphasées de 0 ou de $\pi$ :

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Notion de déphasage : déphasage nul
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Notion de déphasage : déphasage de $\pi$

Attention, ici, on parle de valeurs particulières de déphasage, mais celui-ci peut prendre n’importe quelle valeur entre \(-\pi\) et \(\pi\). D’autre part, précisons qu’un déphasage se mesure entre deux signaux synchrones, c’est à dire de même fréquence.

Oscilloscope numérique
Oscilloscope
(cliquez pour agrandir)

L’oscilloscope possède une mesure automatique de déphasage. La chercher dans le menu "measure" de l'oscilloscope.

  • Attention à bien sélectionner la mesure de phase de la voie CH2 (sur l'oscilloscope numérique, il y a deux types de phases pour la voie 2, choisir l'une ou l'autre car la valeur donnée est identique dans le cas de notre circuit).
  • Rappelons ici que le déphasage varie entre \(-\pi\) et \(\pi\) (\(-180^{\circ}\) et \(180^{\circ}\)), si l’oscilloscope indique un déphasage supérieur à \(|180|^{\circ}\), le véritable déphasage à noter est égal à \(360^{\circ}-\phi \).
    Notion de retard de phase : si le signal de sortie est en retard par rapport à l'entrée, alors le déphasage que l'on souhaite mesuré \(\phi_{s/e}\) est négatif.

Pour une bonne mesure, il faut que les signaux soient bien visibles à l’écran, utiliser tout l’écran verticalement (régler la sensibilité verticale des deux voies) et régler la base de temps afin d’observer plusieurs périodes à l’écran.

On évaluera l'incertitude sur cette mesure de déphasage.

Mesure du gain en tension

Nous allons tracer l’évolution du gain en tension en fonction de la fréquence. Il nous faut donc les amplitudes des deux voies afin de calculer \(G=\dfrac{V_\mathrm{s}}{V_\mathrm{e}}\).

Pour plus de précision, on préfèrera relever les tensions crête à crête sur chaque voie (\(V_\mathrm{pp}\)) et on pourra effectuer le rapport de ces deux tensions. En effet, \(G=\dfrac{V_\mathrm{s}}{V_\mathrm{e}} = \dfrac{2V_\mathrm{s}}{2V_\mathrm{e}} = \dfrac{V_\mathrm{spp}}{V_\mathrm{epp}}\).

Une nouvelle fois on optimisera les signaux à l’écran en réglant la sensibilité verticale des voies avant les mesures de \(V_\mathrm{epp}\) et \(V_\mathrm{epp}\) obtenues automatiquement.

On évaluera l'incertitude sur ces mesures automatiques.

Étalement des mesures

Pour réaliser de bonnes courbes, il faut choisir où prendre les mesures (à quelles fréquences).

Type de filtres et fréquence de coupure

En électrocinétique, on rencontre généralement trois types de filtres que l'on reconnaît par exemple grâce à la courbe \(G=f(f)\):

  • Filtre passe-bas : il laisse passer les basses fréquences (en deçà d'une certaine fréquence appelée fréquence de coupure), son gain est donc grand pour les fréquences faibles et petit pour les grandes fréquences.
  • Filtre passe-haut : il laisse passer les hautes fréquences (au delà d'une certaine fréquence appelée fréquence de coupure), son gain est donc petit pour les fréquences faibles et grand pour les grandes fréquences.
  • Filtre passe-bande : il laisse passer une bande de fréquence (entre deux fréquences caractéristiques appelées fréquences de coupure), son gain est donc grand dans cette bande de fréquence et faible en dehors de celle-ci.

Manipulations

filtreRC
Composants R et C dans leur boîtier
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On utilisera la résistance et le condensateur qui appartiennent au même boîtier.
\(\spadesuit\) Noter les valeur de \(R\) et de \(C\).

On appelle \(v_\mathrm{e}(t)\) la tension d’entrée fournie par le GBF et \(v_\mathrm{s}(t)\) la tension de sortie du filtre.

Réalisation du montage

Câbler les différents composants (GBF, conducteur ohmique, condensateur et oscilloscope) afin de réaliser le montage de la figure 13.

image
Montage d'étude d'un filtre RC

Mesures du gain en tension et du déphasage de \(v_\mathrm{s}(t)\) par rapport à \(v_\mathrm{e}(t)\)

  1. Brancher le GBF sur sa sortie OUTPUT. Le régler (avec le bouton "level") de façon à ce qu’il délivre une tension \(v_\mathrm{e}(t)\) sinusoïdale d’amplitude 6V. Régler sa fréquence à \(500\,\mathrm{Hz}\).
  2. Régler l’oscilloscope afin d’observer correctement les signaux \(v_\mathrm{e}(t)\) et \(v_\mathrm{s}(t)\) des deux voies.
  3. Se placer sur la gamme en fréquence \(10\,\mathrm{kHz}\) du GBF (vous pourrez la changer par la suite pour effectuer vos mesures). Partir d’une fréquence très basse (\(\simeq\,25\,\mathrm{Hz}\)) puis l’augmenter progressivement (jusqu’à \(\simeq\,10\,\mathrm{kHz}\) ) tout en observant l’évolution des signaux à l’écran de l’oscilloscope :
    • Observer l’évolution des amplitudes de \(v_\mathrm{e}(t)\) et \(v_\mathrm{s}(t)\) ;
    • Observer l’évolution du déphasage de \(v_\mathrm{s}(t)\) par rapport à \(v_\mathrm{e}(t)\) (on sait théoriquement que celui-ci varie entre \(0^{\circ}\) et \(\mathbf{-90^{\circ}}\)).
    \(\spadesuit\) Faire trois phrases qui décrivent ces évolutions : de \(V_\mathrm{e}\), de \(V_\mathrm{s}\) et de \(\phi\). \(\spadesuit\)En déduire le type de filtre quer vous étudiez.
  4. \(\spadesuit\) Pour des fréquences allant de \(\simeq\,25\,\mathrm{Hz}\) à \(\simeq\,10\,\mathrm{kHz}\) (pour être précis en fréquence utiliser la gamme de fréquence appropriée grâce aux boutons 100 - 1k - 10k), effectuer une dizaine de mesures de \(V_\mathrm{e\,pp}\), \(V_\mathrm{s\,pp}\) et de \(\phi\).
    Remplir un tableau de mesures (sous Regressi) faisant apparaître \(f\), \(V_\mathrm{epp}\), \(V_\mathrm{spp}\) et \(\phi\). Ne pas oublier les incertitudes de mesures à 68%.
  5. Remarque
    Avec l'oscilloscope numérique, on peut faire apparaître toutes les grandeurs à mesurer en une seule fois.
  6. \(\spadesuit\) Compléter le tableau sous Regressi en ajoutant une ligne permettant le calcul du gain en tension \(G\).

Exploitation

  1. Tracer sous Regressi le graphique représentant le gain en tension en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique : pour cela, aller dans Graphe > Coordonnées puis dans "Graduations" de l’axe des abscisses choisir "log" pour logarithmique.
  2. Modéliser cette courbe : cliquez sur "Modèles" puis "Autres", allez dans l'onglet "Filtres" et choisissez le type de filtre approprié.
  3. \(\spadesuit\) Déduire de la modélisation la fréquence de coupure \(f_0\) de ce filtre ainsi que son incertitude à 95% (donnée par Regressi).
  4. \(\spadesuit\) Comparer \(f_0\) à la fréquence propre du filtre définie par \(f_{\mathrm{0,th}} = \dfrac{1}{2\pi RC}\). Calculer l’incertitude sur cette fréquence \(f_{\mathrm{0,th}}\) sachant que les tolérances constructeur sur les composants sont de \(1\%\).
    Dans ce calcul, on ne prend pas en compte la résistance interne du GBF, car l'influence de celle-ci est prise en compte dans la mesure de \(V_\mathrm{epp}\).
  5. Créer une nouvelle grandeur calculée \(\tan(\phi)\).
  6. Tracer \(\tan(\phi) = f(f)\) avec une échelle linéaire en fréquence.
  7. Théoriquement on a :
    \(\tan(\phi) = - \frac{f}{f_0}\)
    Modéliser la courbe afin d'obtenir la valeur de \(f_0\) et son incertitude à 95%.
  8. Comparer cette valeur à celle trouvée précédemment et à la valeur théorique.

Annexe : Liste de matériel

  • Un multimètre Metrix MX553 ;
  • Un GBF Metrix GX 245 ;
  • Deux boîtiers comportant deux couples différents résistance/condensateur
  • Un oscilloscope numérique Rigol