SIMULATION NUMÉRIQUE
Vecteurs de Fresnel et interférences

Vecteurs de Fresnel

Considérons un signal sinusoïdal \(s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\). On peut penser à l'état vibratoire d'une onde lumineuse en un point de l'espace, mais cela peut tout aussi bien être un signal électrique dans un circuit. On peut interpréter ce signal comme la projection sur l'axe O\(x\) d'un vecteur \(\overrightarrow{s}\) du plan de longueur \(A\) faisant un angle \((\omega t+\varphi)\) par rapport à l'axe O\(x\). Un tel vecteur tournant est appelé phaseur ou vecteur de Fresnel.

L'intérêt de cet outil est qu'il permet de ramener le problème d'une somme de signaux harmoniques à un problème d'addition vectoriel. Par exemple, imaginons deux ondes harmoniques de phase \((\omega_1 t+\varphi_1)\) et \((\omega_2 t+\varphi_2)\) et d'amplitude \(A_1\) et \(A_2\) arrivant en un point. L'onde résultante \[ s(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)=A(t)\cos\phi(t) \] a pour représentant vectoriel, le vecteur obtenu en mettant bout à bout les deux phaseurs : \(A(t)\) est la longueur du vecteur résultant et \(\phi(t)\) l'angle que fait ce même vecteur par rapport à l'axe O\(x\). Cette méthode a surtout un intérêt lorsque les signaux que l'on ajoute sont tous synchrones : dans ce cas, tous les phaseurs tournent à la même vitesse angulaire, et on peut fixer arbitrairement \(t=0\) pour simplifier l'étude. Une fois l'amplitude résultante obtenue, on en tire l'intensité lumineuse \[ I=\overline{s^2(t)} =\frac12 A^2 \]

Interférence à 2 ondes

Le simulateur

La simulation montre la construction de Fresnel dans le problème de l'interférence à deux ondes que l'on rencontre dans l'expérience des fentes d'Young par exemple.

Ce programme interactif effectue la construction de Fresnel résultant de la somme des deux ondes, puis calcule l'intensité correspondante. Un interférogramme donne la répartition de l'intensité en fonction du déphasage \(\varphi\). Enfin, on peut faire varier le contraste en jouant sur le rapport des amplitudes \(r=A_2/A_1\).

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Exercice d'exploration

1. On considère deux ondes de même amplitude : Fixer $r=100\%$. Faites varier le déphasage entre les deux ondes et visualisez l'évolution de l'intensité sur l'interférogramme.
2. Donner la construction de Fresnel lorsqu'il y a interférence constructive. Que vaut $\varphi$ ? Que vaut l'intensité si $I_1=I_2=I_0$ ?
3. Donner la construction de Fresnel lorsqu'il y a interférence destructive. Que vaut $\varphi$ ? Que vaut l'intensité si $I_1=I_2=I_0$ ?
4. Donner la construction de Fresnel lorsque $\varphi=\pi/2$. Que vaut l'intensité si $I_1=I_2=I_0$ ?
5. Vérifier la cohérence de tous vos résultats avec la formule \[ I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\varphi \]
6. On suppose maintenant que la deuxième onde possède une amplitude 4 fois plus faible que la première (Fixer $r=25\%$). Que constatez vous sur l'interférogramme ?
7. À l'aide d'une construction de Fresnel, déterminer le rapport $I_\text{max}/I_\text{min}$
8. En déduire la valeur du constraste \[ \gamma=\frac{I_\text{max}-I_\text{min}}{I_\text{max}+I_\text{min}} \]
9. Mesurer sur le simulateur $I_\text{max}$ et $I_\text{min}$ et vérifier que le constraste est en accord avec votre calcul.

Interférence à N ondes

Le simulateur

L'animation montre la construction de Fresnel dans le problème de l'interférence à N ondes que l'on rencontre dans l'étude du réseau de fentes de diffraction. Supposons un ensemble de \(N\) ondes lumineuses harmoniques de même fréquence issues des fentes du réseau. Chaque onde présente un déphasage \(\varphi\) par rapport à l'onde précédente. L'intensité \(I\) résultant de l'interférence de ces ondes est donné par \[ I=\overline{s^2(t)} \quad\text{avec}\quad s(t)=\underbrace{A\cos(\omega t) + A\cos(\omega t+\varphi)+ \cdots +A\cos(\omega t+(N-1)\varphi)}_\text{N ondes} \] Un interférogramme est représenté en fonction du déphasage $\varphi$.

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Interférence à 3 ondes

Imaginons un réseau de 3 fentes identiques. On se ramène à un problème d'interférence à 3 ondes.

1. Fixer N = 3 et donner les conditions sur $\varphi$ pour avoir des interférences constructives puis destructives.
2. On note $I_0$ l'intensité de chaque onde. Que vaut $I_\text{max}$ ?
3. Faire la construction de Fresnel correspondant au premier minimum. Que vaut $\varphi$ ?
4. Faire la construction de Fresnel correspondant au premier maximum secondaire. Que vaut $\varphi$ ? Que vaut l'intensité ?

Interférence à N ondes

Généralisons les résultats précédents au cas de l'interférence à N ondes identiques

1. Que vaut $I_\text{max}$ ?
2. Que donne la construction de Fresnel pour le premier minimum d'intensité ? En déduire le déphasage $\varphi$ correspondant.
3. Que se passe-t-il quand $N\to\infty$ ? Justifiez le terme de pic d'interférences.
4. Que vaut $\varphi$ lorsque l'intensité est maximum ? En déduire la loi des réseaux (relation entre la déviation \(D\) des rayons et la longueur d'onde)

Le simulateur suivant représente un spectro-goniomètre : un faisceau lumineux collimaté est envoyé en incidence normale sur un réseau de diffraction. Une lunette collecte la lumière diffractée dans une direction mesurée par l'angle \(\theta\) que forme la lunette avec le collimateur.

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5. déterminer la longueur d'onde du laser en portant $\sin D$ en fonction de $p$ (utiliser Regressi)

Cavité Fabry-Pérot

Présentation

Une cavité Fabry-Pérot est une lame d'air d'épaisseur \(e\) formée par deux lames de verre à faces parallèles aux surfaces internes traitées. Le traitement consiste à augmenter le coefficient de réflexion des faces internes de la lame d'air, soit par métallisation, soit par le dépôt de plusieurs couches diélectriques. Typiquement, le coefficient de réflexion énergétique est supérieur à 90%.

On s'intéresse à la transmission de la lumière par cette cavité. La lumière transmise par une telle cavité est le résultat de l'interférence des ondes qui émergent après avoir subit 0, 2, 4, 6... réflexions dans la cavité. À chaque réflexion, l'amplitude est atténuée par le facteur de réflexion \(r\) de sorte que l'amplitude des différentes ondes suit la progression \(1,\;r^2,\;r^4,\ldots\). Chaque aller-retour entraîne un retard, donc un déphasage que l'on note \(\varphi\). L'intensité \(I\) transmise par la cavité est alors donnée par \[ I=\overline{S^2(t)} \quad\text{avec}\quad S(t)=A\cos(\omega t) + R\,A\cos(\omega t+\varphi)+\ldots+R^N\,A\cos(\omega t+N\varphi) \] où \(R=r^2\) désigne le pouvoir de réflexion de la cavité.

Simulation

La simulation montre la construction de Fresnel associée et calcule l'intensité correspondante. Un interférogramme donne la répartition de l'intensité en fonction du déphasage.

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Exercices

1. Fixer \(R=50\%\) puis mesurer le contraste. Que donne la valeur théorique (utiliser la construction de Fresnel pour calculer \(\mathcal{I}_\text{max}\) et \(\mathcal{I}_\text{min}\).
2. Par définition, la finesse \(\mathcal{F}\) d'une cavité Fabry-Pérot est le rapport de l'interfrange sur la largeur à mi-hauteur des franges brillantes. Mesurer \(\mathcal{F}\) pour \(R=50\%\). La théorie donne \[ \mathcal{F}=\pi\frac{\sqrt{R}}{1-R} \] Comparer la valeur théorique à votre mesure.
3. Quelle est l'influence de \(R\) sur l'interférogramme et sur la finesse de la cavité ?