La physique à l'ENSCR

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Modélisation d'une bobine

Objectif

Le but de ce TP consiste à modéliser correctement une bobine à air formée par un simple bobinage multicouche. On mettra notamment en évidence l'effet de peau qui se produit aux fréquences moyennes.

Prérequis

Revoir le cours sur la notion d'impédance et sur le magnétisme.

Modèle théorique

Bobine simple

On forme une bobine simple en enroulant du fil de cuivre sur un cylindre de diamètre $D$ et de longueur $\ell$. Le fil de cuivre a pour épaisseur $d$ et est enroulé en formant $N$ spires jointives. On cherche à exprimer la self-inductance $L$ et la résistance interne $r$ en fonction de $N$, $D$, $d$, $\ell$ et $\gamma$ la conductivité du cuivre.

Bobine à air

Résistance interne

Le fil de cuivre ayant une conductivité $\gamma$ finie, la bobine résiste au passage du courant. Sa résistance interne $r$ s'obtient à l'aide de la loi d'ohm. Si la densité de courant est uniforme dans le fil conducteur, on a \[ \overrightarrow{j}=\gamma\overrightarrow{E} \] L'intensité du courant électrique est donné par $I=jS=\gamma ES$ et la tension aux bornes du fil conducteur par $U=E\ell_{c}$ où $\ell_c$ désigne la longueur de fil de cuivre. La résistance du bobinage vaut donc \[ r=\frac{U}{I}=\frac{1}{\gamma}\frac{\ell_c}{S} \] Or, si $d$ est le diamètre du fil, sa section vaut $S=\pi\,d^2/4$. De plus, il y a $N$ spires enroulées qui ont pour longueur $\pi D$ de sorte que $\ell_c=N\,\pi D$. Finalement la bobine possède une résistance interne qui augmente avec le nombre de spires : \[ r=\frac{4N\,D}{\gamma d^{2}} \]

La self inductance

Étudions maintenant la self inductance. Faisons l'hypothèse que la bobine est suffisamment longue pour pouvoir négliger les effets de bord de sorte que la bobine est assimilable à un solénoïde infini. Dans ce cas, lorsqu'elle est parcourue par un courant d'intensité $I$, elle produit un champ magnétique axial et uniforme dans la bobine \[ B_{\infty}=\mu_{0}nI \qquad\text{avec}\qquad \mu_0=4\pi.10^{-7}\;\mathrm{H.m^{-1}} \] où $n$ désigne la densité d'enroulement en nombre de spires/mètre, soit $n=N/\ell$. Par ailleurs le flux du champ magnétique à travers une spire vaut $\Phi_1=B_{\infty}\pi D^{2}/4$. Donc, le flux embrassé par les $N$ spires vaut \[ \Phi=N\Phi_1=N^2\mu_{0}\frac{\pi}{4}\frac{D^2}{\ell}\times I \] Ce flux est proportionnel à l'intensité électrique.

Définition

L’inductance $L$ d'un circuit électrique est définie comme le rapport entre le flux magnétique embrassé par le circuit et l'intensité du courant : \[ L=\frac{\Phi}{I} \quad\text{s'exprime en henry (H)}\]

On en déduit la valeur de l'auto-inductance de la bobine : \[ L=\mu_{0}N^2\frac{\pi}{4} \frac{D^2}{\ell} \]

Bobine multicouche

Pour les mesures (partie II) on utilise une bobine dont l'enroulement est répété plusieurs fois de façon à former plusieurs couches. Si l'épaisseur du fil est faible devant le diamètre de la bobine on peut considérer que toutes les spires ont le même diamètre de sorte que les formules précédentes restent approximativement valides. On a donc

\begin{equation} \boxed{\displaystyle L=\mu_{0}N^2\frac{\pi}{4} \frac{D^2}{\ell} \qquad\text{et}\qquad r=\frac{4N\,D}{\gamma d^{2}} } \label{eq:modele_de_la_bobine_a_air} \end{equation}

L'effet de peau

L’effet de peau est un phénomène électromagnétique qui fait qu'en régime alternatif, le courant se déplace plus facilement en périphérie des conducteurs qu'à l'intérieur. Ce phénomène est d'autant plus prononcé que la fréquence est grande (plus précisément, un courant alternatif de fréquence $f$ se réparti sur une épaisseur qui varie en $1/\sqrt f$).

Effet de peau.
Répartition du courant dans un fil de cuivre de 0,8 mm de diamètre.

De surcroît ce phénomène est amplifié dans une bobine multicouche de sorte que la résistance au passage du courant augmente avec la fréquence. On peut montrer que la résistance d'une bobine doit croître avec la fréquence de façon quadratique :

\begin{equation} r=r_0+\alpha f^{2}\quad\text{avec}\quad r_0=\frac{4N\,D}{\gamma d^{2}} \label{eq:effet_de_peau} \end{equation}

Manipulation

On utilise une bobine LEYBOLD. Le constructeur donne :

$d$$\ell$$D$N$\gamma$
0,8 mm7 cm7 cm1000$5,8.10^7\;\mathrm{S.m^{-1}}$

On place la bobine étudiée dans un circuit électrique avec une résistance variable $R$ et un condensateur de capacité variable $C$ de façon à former un circuit RLC série. L'ensemble est alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale.

Montage RLC

En se plaçant à la résonance de ce circuit nous allons pouvoir mesurer les caractéristiques de la bobine.

Rappel sur la résonance d'intensité

On dit qu'il y a résonance d'intensité lorsque l'intensité qui circule dans le circuit est d'amplitude maximale. L'impédance complexe du circuit RLC série \[\underline{Z}=R+r+\mathrm{j}\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)\] La résonance se produit quand l'impédance $|\underline{Z}|$ est minimum c'est-à-dire quand \[L\omega=\frac{1}{C\omega}\qquad\Longrightarrow\qquad \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\] À la résonance, le dipôle RLC se comporte donc comme une résistance $R+r$ et, par conséquent, l'intensité et la tension d'entrée oscillent en phase.

Si l'on injecte les deux signaux sinusoïdaux sur les voies X et Y d'un oscilloscope, et que l'on commute l'oscilloscope en mode XY, on obtient une courbe paramétrique d'équation \[\left\{\begin{array}{rcl} X(t) &=&a\cos(\omega t)\\ Y(t) &=&b\cos(\omega t+\phi) \end{array}\right.\] Il s'agit de l'équation paramétrique d'une ellipse circonscrite dans un rectangle $a\times b$ et dont l'excentricité $e$ varie avec $\phi$. Ce mode est particulièrement adapté à la recherche de la résonance lorsque les deux signaux en phase.

signaux en phase dépahasage de de 45° signaux en quadrature de phase dépahasage de 135°

Mesure de $L$

  1. Réalisez le montage. Fixez \(C=1\;\mathrm{\mu F}\) et \(R=20\;\mathrm{\Omega}\) puis demandez à l’enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien allumer avant cette vérification !
  2. Réglez l’amplitude de la tension d’entrée de façon à ce que la tension efficace ne dépasse pas 2V. Fixez une fréquence de l’ordre de 500 Hz.
  3. Augmentez la fréquence et, à l’aide de l’oscilloscope, déterminez la fréquence de résonance \(f_0\) pour laquelle les deux signaux sont en phase.
  4. Collectez les fréquences de résonance \(f_0\) pour \(C=\) 1000, 400, 100 et 20 nF. On estimera les incertitudes sur \(f_0\) (pour \(C\), on prendra \(\sigma_C=1\%C\)).
  5. Dans Regressi, remplir un tableau avec les mesures effectuées. Créez une nouvelle variable \(X=1/\sqrt{C}\). Portez \(f_0\) en fonction de \(X\) en ajoutant les barres d’erreur. Choisissez le modèle théorique adéquat qu’il faut ajuster à vos mesures.
  6. Vos points présentant une incertitude sur x et y il faut utiliser la méthode des ellipses pour l'ajustement : Modélisation $\triangleright$ Option $\triangleright$ Calcul $\triangleright$ Méthode des ellipses.

  7. Vos mesures sont-elles compatibles avec le modèle ? En déduire la valeur de \(L\) (ainsi que son incertitude).
  8. Cette valeur est-elle compatible avec la valeur théorique \eqref{eq:modele_de_la_bobine_a_air}? Discutez.

Mesure de $r$

À la résonance $\underline{Z}_L+\underline{Z}_C=0$ de sorte que le circuit est équivalent à

Montage équivalent à la résonance

À préparer : déterminer la relation entre $u_{\mathrm{e}}(t)$, $u_{\mathrm{s}}(t)$, $r$ et $R$. En déduire qu'on peut obtenir la valeur de la résistance interne $r$ à partir des tensions efficaces mesurées à la résonance.


  1. Fixez \(C=\) 1000 nF et placez vous à la résonance puis mesurez au voltmètre la tension efficace d’entrée \(U_{\rm e\;eff}\).
  2. Branchez le voltmètre à la sortie (aux bornes de la résistance \(R\)) puis mesurez la tension efficace \(U_{\rm s\; eff}\).
  3. Répétez les opérations précédentes pour les valeurs \(C=\) 400, 100 et 20 nF.
  4. Dans Regressi, entrez les tensions mesurées et créez la grandeur \(r\).
  5. Portez \(r\) en fonction de la fréquence de résonance et mettez en évidence l’effet de peau. En déduire les valeurs de \(r_0\) et \(\alpha\). Confrontez la valeur de \(r_0\) avec la formule \eqref{eq:effet_de_peau}.

Pour terminer, il est assez courant de modéliser une bobine réelle dans le domaine des basses et moyennes fréquences par le schéma équivalent suivant :

Schéma équivalent d'une bobine

avec $r'\gg L\omega$ et $r'\gg r_0$.


À préparer : montrez que l'impédance du modèle équivalent s'écrit \[ Z\simeq a+b\,\omega^2+jL\omega \] avec $a$ et $b$ deux constantes à exprimer en fonction de $r_0$, $r'$ et $L$.


Finalement, quelle valeur faut-il donner à $r'$ pour que le modèle proposé décrive bien a bobine à air étudiée ?

★★★

Matériel

  • Une résistance x$10\;\mathrm{\Omega}$ ;
  • une bobine LEYBOLD 1000 tours;
  • un oscilloscope analogique METRIX et des câbles (2BNC-bananes + 2BNC-BNC) ;
  • un voltmètre ;
  • un GBF Metrix GX249;
  • un fréquencemètre.