TP : modélisation d'une bobine

Responsable : J. Roussel

Modèle théorique

Bobine simple

On forme une bobine simple en enroulant du fil de cuivre sur un cylindre de diamètre $D$ et de longueur $\ell$. Le fil de cuivre a pour épaisseur $d$ et est enroulé en formant $N$ spires jointives. On cherche à exprimer la self-inductance $L$ et la résistance interne $r$ en fonction de $N$, $D$, $d$, $\ell$ et $\gamma$ la conductivité du cuivre.

Résistance interne

Le fil de cuivre ayant une conductivité $\gamma$ finie, la bobine résiste au passage du courant. Sa résistance interne $r$ s'obtient à l'aide de la loi d'ohm. Si la densité de courant est uniforme dans le fil conducteur, on a \[ \overrightarrow{j}=\gamma\overrightarrow{E} \] L'intensité du courant électrique est donné par $I=jS=\gamma ES$ et la tension aux bornes du fil conducteur par $U=E\ell_{c}$ où $\ell_c$ désigne la longueur de fil de cuivre. La résistance du bobinage vaut donc \[ \boxed{ r=\frac{U}{I}=\frac{1}{\gamma}\frac{\ell_c}{S} }\quad\heartsuit \] Or, si $d$ est le diamètre du fil, sa section vaut $S=\pi\,d^2/4$. De plus, il y a $N$ spires enroulées qui ont pour longueur $\pi D$ de sorte que $\ell_c=N\,\pi D$. Finalement la bobine possède une résistance interne qui augmente avec le nombre de spires : \[ r=\frac{4N\,D}{\gamma d^{2}} \]

La self inductance

Étudions maintenant la self inductance. Faisons l'hypothèse que la bobine est suffisamment longue pour pouvoir négliger les effets de bord de sorte que la bobine est assimilable à un solénoïde infini. Dans ce cas, lorsqu'elle est parcourue par un courant d'intensité $I$, elle produit un champ magnétique axial et uniforme dans la bobine \[ \boxed{B_{\infty}=\mu_{0}nI \qquad\text{avec}\qquad \mu_0=4\pi.10^{-7}\;\mathrm{H.m^{-1}}}\quad\heartsuit \] où $n$ désigne la densité d'enroulement en nombre de spires/mètre, soit $n=N/\ell$. Par ailleurs le flux du champ magnétique à travers une spire vaut $\Phi_1=B_{\infty}\pi D^{2}/4$. Donc, le flux embrassé par les $N$ spires vaut \[ \Phi=N\Phi_1=N^2\mu_{0}\frac{\pi}{4}\frac{D^2}{\ell}\times I \] Ce flux est proportionnel à l'intensité électrique.

On en déduit la valeur de l'auto-inductance de la bobine : \[ L=\mu_{0}N^2\frac{\pi}{4} \frac{D^2}{\ell} \]

Bobine multicouche

Pour les mesures (partie II) on utilise une bobine dont l'enroulement est répété plusieurs fois de façon à former plusieurs couches. Dans ce cas, les formules précédentes gardent la même forme à condition de remplacer $D$ et $D^2$ par leur moyennes calculées sur les différentes couches :

\begin{equation} \boxed{\displaystyle L=\mu_{0}N^2\frac{\pi}{4} \frac{\overline{D^2}}{\ell} \qquad\text{et}\qquad r=\frac{4N\,\overline{D}}{\gamma d^{2}} } \label{eq:modele_de_la_bobine_a_air} \end{equation}

Pour ce TP, on utilise une bobine multicouches LEYBOLD™ dont voici les caractéristiques :

nbre de couches	$d$	$\ell$	$D$	N	$\gamma$
10	0,8 mm	8 cm	7 cm	1000	5,8.107 S.m-1
$D$ est le diamètre du cylindre sur lequel est enroulé le fil de cuivre

Manipulation

Montage électrique

On place la bobine étudiée dans un circuit électrique avec une résistance variable $R$ et un condensateur de capacité variable $C$ de façon à former un circuit RLC série. L'ensemble est alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale.

Réalisez le montage puis fixez $C=1\;\mathrm{\mu F}$ et $R=20\;\mathrm{\Omega}$.

En se plaçant à la résonance de ce circuit nous allons pouvoir mesurer les caractéristiques de la bobine.

Mesure de $L$

Rappel sur la résonance d'intensité — On dit qu'il y a résonance d'intensité lorsque l'intensité qui circule dans le circuit est d'amplitude maximale. L'impédance complexe du circuit RLC s'écrit \[\underline{Z}=R+r+\mathrm{j}\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)\] La résonance se produit quand l'impédance $|\underline{Z}|$ est minimum c'est-à-dire quand la partie imaginaire est nulle : \begin{equation} \boxed{ L\omega=\frac{1}{C\omega}\qquad\Longrightarrow\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \hspace{0.5em}} \hspace{0.5em}\heartsuit \label{eq:condition_de_resonance} \end{equation} À la résonance, le dipôle RLC se comporte donc comme une résistance ($\underline{Z}(\omega_0)=R+r$) et, par conséquent, l'intensité et la tension d'entrée oscillent en phase.

Si l'on injecte les deux signaux sinusoïdaux sur les voies X et Y d'un oscilloscope, et que l'on commute l'oscilloscope en mode XY, on obtient une courbe paramétrique d'équation \[\left\{\begin{array}{rcl} X(t) &=&a\cos(\omega t)\\ Y(t) &=&b\cos(\omega t+\phi) \end{array}\right.\] Il s'agit de l'équation paramétrique d'une ellipse circonscrite dans un rectangle $a\times b$ et dont l'excentricité $e$ varie avec $\phi$. Ce mode est particulièrement adapté à la recherche de la résonance lorsque les deux signaux en phase.

1. Réglez l’amplitude de la tension d’entrée de façon à ce que la tension efficace ne dépasse pas 2 V. Fixez une fréquence de l’ordre de 500 Hz.
2. Augmentez la fréquence et, à l’aide de l’oscilloscope, déterminez la fréquence de résonance \(f_0\) pour laquelle les deux signaux sont en phase.
3. Collectez les fréquences de résonance \(f_0\) pour \(C=\) 1000, 400, 100 et 20 nF. On estimera les incertitudes sur \(f_0\) (pour \(C\), on prendra \(\textbf{u}(C)=1\%C\)).
4. Dans Regressi™, remplir un tableau avec les mesures effectuées. Créez une nouvelle variable \(X=1/\sqrt{C}\). Portez \(f_0\) en fonction de \(X\) en ajoutant les barres d’erreur. Choisissez le modèle théorique adéquat qu’il faut ajuster à vos mesures, puis en déduire la valeur de $L$ (ainsi que son incertitude).
5. Votre mesure est-elle en accord avec la formule \eqref{eq:modele_de_la_bobine_a_air}? Expliquer.
6. Comparer avec ce que donne ce simulateur en ligne.

Mesure de $r$

À la résonance $\underline{Z}(\omega_0)=R+r$ de sorte que le circuit est équivalent à un simple diviseur de tension :

1. Fixez \(C=\) 1000 nF et placez-vous à la résonance puis mesurez au voltmètre la tension efficace d’entrée \(U_\text{e eff}.\)
2. Branchez le voltmètre à la sortie (aux bornes de la résistance \(R\)) puis mesurez la tension efficace \(U_\text{s eff}.\)
3. Répétez les opérations précédentes pour les valeurs \(C=\) 400, 100 et 20 nF.
4. Dans Regressi™, entrez les tensions mesurées et créez la grandeur \(r\). Qu'y-a-t-il se surprenant dans les résultats ?

L'effet de peau — L’effet de peau est un phénomène électromagnétique qui fait qu'en régime alternatif, le courant se déplace plus facilement en périphérie des conducteurs qu'à l'intérieur. Ce phénomène est d'autant plus prononcé que la fréquence est grande (cf. cours électromagnétisme). Le courant circulant moins facilement au cœur du conducteur, la résistance augmente avec la fréquence. On peut montrer que la résistance d'une bobine doit croître avec la fréquence de façon quadratique : \begin{equation} r=r_0+\alpha f^{2} \label{eq:effet_de_peau} \end{equation}

5. Portez $r$ en fonction de la fréquence de résonance et mettez en évidence l'effet de peau. En déduire les valeurs de $r_0$ et $\alpha$. Confrontez la valeur de $r_0$ avec la formule \eqref{eq:modele_de_la_bobine_a_air}.

Pour terminer, il est assez courant de modéliser une bobine réelle dans le domaine des basses et moyennes fréquences par le schéma équivalent suivant :

On montre que l'impédance équivalente de ce dipôle s'écrit \[ \underline{Z}\simeq r_0+\frac{L^2}{r'}\omega^2+j\,L\omega \]

6. Quelle valeur faut-il donner à $r'$ pour traduire correctement l'effet de peau qui se manifeste dans la bobine utilisée ?