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La physique à l'ENSCR

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TP-cours : circuit RLC en régime libre - CORRECTION

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Existence de différents régimes : influence de la résistance du conducteur ohmique

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Questions

R(Ω) 100 1000 3000 6000 10000
Q(s) 31,6 3,16 1,05 0,53 0,32
Régime Pseudo-périodique Pseudo-périodique Pseudo-périodique Pseudo-périodique proche du critique Apériodique

Etude du régime pseudo-périodique

Pseudo-période et période propre, différences

  1. On parle de pseudo-période car le signal est périodique mais les amplitudes des oscillations diminuent au cours du temps.
  2. 7 périodes pour un temps de 1,392×102s, donc une période de 1,989×103s.
    Or la période propre vaut 2πLC=1,987s.

    Ces périodes sont pratiquement égales.

Voici l'acquisition des oscillations qui se produiraient s'il n'y avait pas de résistance :

image

Cette courbe permet de "mesurer" la période propre du circuit.

Influence de R

Oui, la valeur de la résistance du conducteur ohmique influe sur la pseudo-période des oscillations, mais cette influence est plutôt faible.
En effet, la théorie indique que la pseudo-période des oscillations est donnée par T=2πω20λ2λ=R2L. La résistance intervient bien.

Influence de L

  1. Mesures
L (H) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4
T (s) 2,18×103 1,99×103 1,78×103 1,54×103 1,26×103
  1. Plus l'inductance de la bobine diminue, plus la pseudo-période des oscillations diminue, cela est conforme à la formule donnant la pseudo-période des oscillations : T=2π1LCλ2
    Si L diminue, 1LC augmente donc T diminue.

Influence de C

  1. Mesures

C(μF) 0,1 0,5 1,0 1,5 2,0
T (s) 2,18×103 4,43×103 6,28×103 7,7×103 8,9×103
  1. Plus la capacité du condensateur augmente, plus la pseudo-période des oscillations augmente, ce qui est en accord avec la théorie puisque T=2π1LCλ2
    Si C augmente, 1LC diminue donc T augmente.

Etude du régime critique

  1. D'après nos premières simulations, on sait que le régime critique est obtenu pour une résistance proche de 6000Ω
  2. Ceci nous donne un facteur de qualité de 0,53 proche des 0,5 attendu
  3. On trouve pour uC=2Ee1, t=3,133×104=1λ d'où λ=3192. Or Q=ω02λ=1LC2λ=0.495.
    CQFD aux arrondis près.

Exercice : circuit LC série réel

  1. On applique la loi des nœuds à l'endroit de la dérivation : i(t)=Cdudt+uR
    Puis la loi des mailles dans la branche principale :
    Ldidt+Ri+u=ELCd2udt2+LRdudt+RCdudt+u+u=Eτ2d2udt2+2τdudt+2u=Ed2udt2+2τdudt+2τ2u=Eτ2

    La solution de cette équation est la somme de la solution de l'équation sans second membre et de la solution particulière.

    Solution particulière
    Cette dernière est constante et s'écrit uP=E2.


    Solution homogène
    Pour trouver la solution de l'équation homogène, on cherche les racines du polynôme caractéristique r2+2τr+2τ2=0.
    Le discriminant réduit est Δ=b2ac=1τ21×2τ2=1τ2<0 donc les racines de ce polynôme sont
    r1=1τ+j1τr2=1τj1τ
    Pour se ramener à ce qui a été vu dans le cours, si on pose λ=1τ et ω=1τ, la solution s'écrit :
    uH(t)=(A1cos(ωt)+A2sin(ωt))eλt Donc ici :
    uH(t)=(A1cos(tτ)+A2sin(tτ))etτ

    Solution globale

    Finalement, la solution s'écrit :
    u(t)=E2+(A1cos(tτ)+A2sin(tτ))etτ
    Détermination des constantes

    Les conditions initiales sont u(t=0)=0 et i(t=0)=0, ainsi :

    • La première condition donne : A1=E2

    • Pour utiliser la deuxième condition, on doit dériver u(t) : i(t)=Cdudt=C(A1τsin(tτ)+A2τcos(tτ))etτ+C(A1cos(tτ)+A2sin(tτ))(1τ)etτ Donc :
      i(t=0)=A2τA1τ=0A2=E2
    Expression finale de u(t)

    La tension aux bornes du condensateur s'écrit :
    u(t)=E2(1etτ(cos(tτ)+sin(tτ)))

  2. En régime permanent, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé, le condensateur comme un interrupteur ouvert. Donc le circuit étudié devient celui de la figure ci-contre.
    image

    Ainsi on a :
    u=R2RE=E2(diviseur de tension) et :
    i=E2R(loi d'Ohm)