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Moments de force

Ce TP aborde l'étude des équilibres mécaniques et est l'occasion de se familiariser avec le concept de moment de force.

Pour les prérequis, voir par exemple femto-physique.fr/mecanique.

Notions théoriques

Moment d'une force

Rappelons qu'une force est caractérisée par :

  • son point d’application ;
  • sa direction (ou droite d’action) ;
  • son sens ;
  • son intensité que l'on exprime en Newton (N) dans le Système International.

Exemple du poids : Le point d’application du poids est le centre de gravité du corps pesant. La relation qui lie le poids et la masse du corps est la suivante : \[\overrightarrow{P}=m\,\overrightarrow{g}\] avec \(\overrightarrow{g}\) le champ de pesanteur dont la norme vaut \(g=9.81\mathrm{m.s^{-2}}\).

Considérons maintenant une force $\overrightarrow{f}$ dans un plan $\mathcal{P}$ et un axe orienté $(\Delta)$ perpendiculaire à $\mathcal{P}$. Par définition, le bras de levier est la distance $d$ entre la droite d'action de la force et l'axe $(\Delta)$.

Bras De Levier

On appelle moment de la force $\boldsymbol{\overrightarrow{f}}$ par rapport à l'axe $(\Delta)$ la quantité \[\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{f})=\pm\, f\times d\] On prendra le signe + lorsque la force tend à faire tourner le point M autour de l'axe dans le sens positif (associé au sens de $\overrightarrow{u}$ par la règle du tire-bouchon) et - dans le cas contraire.

Équilibre d'un solide

Considérons un solide $\mathcal{S}$ en équilibre dans un référentiel $\mathcal{R}$ galiléen. Les lois de la mécanique newtonienne impliquent alors que \[\left\{\begin{array}{rcl} \sum\overrightarrow{f}{}^{\textrm{ext}} &=& \overrightarrow{0} \\ \sum\mathcal{M}_{\Delta}{}^{\textrm{ext}} &=& 0 \\ \end{array}\right.\] où $(\Delta)$ est un axe fixe quelconque.

Manipulations

La poulie différentielle

La poulie différentielle (métallique, de couleur rouge) est disposée sur un support métallique.

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Expérience 1 :

  1. \(\spadesuit\) En les accrochant de part et d’autre de la poulie, trouver 2 masses \(m_A\) et \(m_B\) permettant l’équilibre de l’ensemble (noter quelle gorge intérieure de la poulie a été utilisée).
  2. \(\spadesuit\) Changer une des longueurs \(L_A\) ou \(L_B\), l’équilibre est-il modifié ? Pourquoi ?.
  3. \(\spadesuit\) Mesurer les diamètres \(D_A\) et \(D_B\) des gorges puis calculer les quantités \(X=m_AD_A\) et \(Y=m_BD_B\) ainsi que leur incertitude.
  4. \(\spadesuit\)Quelle relation prévoit-on entre \(X\) et \(Y\) ? Est-elle vérifiée expérimentalement ? Discutez.

Vérification de la loi des moments

Placer l’objet plan qui a la forme ci-contre sur le panneau métallique blanc. Mette également en place 3 poulies aimantées sur ce même panneau.

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Expérience 2

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  1. Réaliser le montage de la photo ci-dessus.
  2. \(\spadesuit\) Mesurer la force \(F\) qui s’exerce au point d’attache entre le dynamomètre et l’objet plan (ne pas oublier d'estimer l'incertitude).
  3. \(\spadesuit\) Comparer celle-ci au poids \(P\) de la masse \(m\). Expliquer.

Expérience 3

Pour les deux manipulations à venir, ne pas prendre des masses trop différentes. Il faut choisir les masses et les bras de leviers qui permettront d’obtenir des résultats corrects (voir annexe).

Réaliser le montage de la figure ci-contre. Chaque force de tension présente un bras de levier \(D\) par rapport à l'axe de rotation passant par O. Cette distance se mesure en utilisant la règle graduée qui peut pivoter autour du point O.

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image On gagne en précision en choisissant de grands bras de levier.

  1. \(\spadesuit\) Notez les masses choisies puis mesurer \(D_A\) et \(D_B\) (ne pas oublier d'estimer les incertitudes).
  2. \(\spadesuit\) Dans regressi, entrer les masses \(m_A\) et \(m_B\), ainsi que les distances \(D_A\) et \(D_B\). Recommencer pour différents couples de masse (au moins trois mesures différentes) et différents points de fixation.
  3. \(\spadesuit\) Calculer les forces \(F_A\) et \(F_B\) en considérant que \(F = P = mg\). Ensuite, calculer les moments \(\mathcal{M}_A\) et \(\mathcal{M}_B\) (attention aux signes).
  4. \(\spadesuit\) Quelle relation prévoit-on entre les moments ?
    Porter \(\mathcal{M}_A\) en fonction de \(\mathcal{M}_B\) puis tester le modèle \(Y=-X+b\) (n'oubliez pas les barres d'erreur). Y-a-t-il adéquation ? Quel sens donner à \(b\) ?
  5. \(\spadesuit\) Imprimer la courbe et le tableau.

Expérience 4 (à faire s'il vous reste au moins 45 minutes)

  1. Ajouter une troisième poulie (et une troisième masse) au système afin que l’objet plan soit soumis à trois forces.
  2. \(\spadesuit\) Calculer les trois moments par rapport à l'axe de rotation. La loi des moments est-elle vérifiée ? Discuter.

Forces concourantes

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Enlever l’objet plan du panneau métallique puis placer des masses comme sur la figure ci-dessus.

\(\spadesuit\) Travail préparatoire : Sur un schéma, représenter les forces s'exerçant sur \(m_1\), \(m_2\) et \(m_3\). À partir de l’équilibre de la masse \(m_2\), établir deux relations entre \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) et les angles \(\alpha\) et \(\beta\).

Expérience 5

  1. \(\spadesuit\) Choisir \(m_2=\) 200 g. Équilibrer \(m_2\) à l'aide de deux masses puis mesurer α et β à l'aide d'un rapporteur.
  2. \(\spadesuit\) Répéter l'opération en changeant les masses \(m_1\) et \(m_3\) et notez dans un tableau Regressi les valeurs \(m_1\), \(m_3\), α et β.
  3. \(\spadesuit\) Porter \(Y=m_3\cos\beta\) en fonction de \(X=m_1\cos\alpha\) puis proposer un modèle de régression. Conclure.

Annexe

A titre indicatif, voici les masses que l’on peut prendre pour effectuer les manipulations dans le cas de deux forces ou trois forces qui s’exercent sur un objet plan.

Manipulation avec deux forces

\(m_A (kg)\) entre 0.20 et 0.18 entre 0.12 et 0.10 entre 0.10 et 0.08 entre 0.08 et 0.05
\(m_B (kg)\) entre 0.18 et 0.12 entre 0.16 et 0.12 entre 0.07 et 0.04 entre 0.04 et 0.02

Manipulation avec trois forces

\(m_A (kg)\) entre 0.20 et 0.18 entre 0.12 et 0.10 entre 0.10 et 0.08 entre 0.08 et 0.05
\(m_B (kg)\) entre 0.18 et 0.14 entre 0.14 et 0.12 entre 0.08 et 0.06 entre 0.05 et 0.03
\(m_C (kg)\) entre 0.14 et 0.12 entre 0.16 et 0.14 entre 0.06 et 0.04 entre 0.03 et 0.02

Matériel

  • Une poulie différentielle sur support.
  • Panneau métallique avec poulies et objet plan aimantés.
  • Un dynamomètre.
  • Différentes masses et différents fils
  • Un rapporteur et une règle