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Étude du prisme à l'aide d'un goniomètre

Objectif

Ce TP d'optique géométrique aborde l'étude du prisme à l'aide d'un instrument permettant de mesurer des angles avec une grande précision : le goniomètre. Ce TP sera l'occasion de se familiariser avec les aspects suivants :

  • la manipulation et le réglage d'un appareil de précision ;
  • la visualisation d'un spectre discontinu ;
  • la loi de dispersion d'un prisme en verre.

Prérequis

Voir par exemple http://femto-physique.fr/optique/.

Aspects théoriques

Considérons un prisme droit de base triangulaire, transparent d'indice de réfraction $n$. On s'intéresse aux rayons lumineux se propageant dans un plan de section principal (perpendiculaire à l'arête du prisme). On note $A$ l'angle du sommet qui fait face à la base du triangle (cf. Figure ci-dessous).

Formules du prisme

Les lois de la réfraction imposent deux relation entre $i$ et $r$ puis entre $i'$ et $r'$ : \[ \left\{\begin{array}{ccc} \sin i &=& n\sin r \\ \sin i'&=&n\sin r' \end{array}\right. \] La déviation $D$ que subit le rayon incident s'écrit : \[D=(i-r)+(i'-r')\] De plus, $A$, $r$ et $r'$ sont liés par \[A+(\frac{\pi}{2}-r)+(\frac{\pi}{2}-r')=\pi\] D'où l'on déduit une nouvelle expression de $D$ : \[D=i+i'-A\] Si $A$ et $n$ sont fixés, $D$ ne dépend que de l'angle d'incidence $i$. Sur la Figure, on a représenté la déviation $D$ en fonction de $i$ en fixant $A=60$° et $n=1,6$.

Prisme Déviation
À gauche, la définition des angles. À droite, évolution de la déviation $D$ en fonction de l'angle d'incidence $i$ pour $A=60^{\circ}$ et $n=1,6$.

Minimum de déviation

Conditions d'émergence

On remarque sur la figure précédente que la déviation n'existe que si l'angle d'incidence dépasse une valeur $i_{0}$. En effet, si $i$ est trop petit il y a réflexion totale à l'intérieur du prisme. Par exemple, avec un prisme tel que $A=60^{\circ}$ et $n=1,7$, on a \[\sin i'\leq1\Rightarrow\sin r'\leq\frac{1}{n}\Rightarrow r'\leq36{}^{\circ}\] d'où l'on tire \[r\geq24{}^{\circ}\Rightarrow i\geq43,7{}^{\circ}\]

Le faisceau incident ne pourra pas sortir par la face opposée s'il n'est pas suffisamment incliné par rapport à la face d'entrée.

Formule de la déviation minimale

Sur la figure précédente, on note également l'existence d'une déviation minimale notée $D_{\rm m}$. La mesure de cette déviation minimale permet de déduire l'indice de réfraction $n$. En effet, d'après le principe du retour inverse de la lumière, si $D$ est la déviation correspondant à une incidence $i$, alors $D$ est aussi la déviation correspondant à l'incidence $i'$. Il existe donc deux angles d'incidence donnant la même déviation. Ainsi, lorsque $D$ atteint son minimum, ces deux angles doivent se confondre (voir courbe) : \[i=i' \quad\text{quand}\quad D=D_{{\textrm{m}}}\] Dans ce cas, on a $r=r'=A/2$ et $D_{\rm m}=2i-A$. La loi $n=\sin i/\sin r$ donne finalement

\begin{equation} \boxed{\displaystyle n=\frac{\sin{\displaystyle {\left(\frac{A+D_{{\textrm{m}}}}{2}\right)}}}{\sin{\displaystyle {\frac{A}{2}}}} } \label{eq:tp1_formule_du_prisme} \end{equation}

La mesure de $D_{\rm m}$ et $A$ permet donc de calculer l'indice du prisme.

Manipulation

Description du goniomètre

Goniomètre

Le goniomètre est un appareil destiné à la mesure précise des angles (précision de l'ordre de la minute d'arc !).

Rappel

Un degré (symbole °) est subdivisé en 60 minutes d’arc (symbole '), elles-mêmes divisées en 60 secondes d’arc (symbole "). Ainsi, \[165^{\circ}45'36''=165+\frac{45}{60}+\frac{36}{3600}=165,76^{\circ}\]

Il est composé de quatre parties :

  • Une plate-forme mobile (la platine) autour d'un axe vertical destiné à recevoir le prisme. Trois vis permettent de régler l'horizontalité de la platine.
  • Une lunette auto-collimatrice mobile autour d'un axe vertical destinée à observer des objets à l'infini.
  • Un collimateur fixe constitué par une fente de largeur réglable, placée dans le plan focal objet d'une lentille convergente.
  • Un microscope permettant la lecture des angles à la minute près ($1'= 1/60^{\circ}$).
Lecture des angles au microscope

Réglages

Avant d'effectuer les mesures, il est nécessaire de régler la lunette, le collimateur ainsi que l'horizontalité de la plateforme (effectué par l'enseignant). Commencer par allumer une lampe spectrale.

Ne pas éteindre la lampe spectrale à vapeur avant de ne plus en avoir besoin, sinon attendre 1/4 d'heure avant de la rallumer.

Réglage de la lunette auto-collimatrice

Lunette auto-collimatrice

Dans la lunette, entre oculaire et objectif se trouve un réticule (2 fils croisés et perpendiculaires) que l'on peut éclairer en basculant un miroir semi-transparent. La lunette est bien réglée lorsqu'elle est afocale : elle donne d'un objet à l'infini une image à l'infini comme la lunette astronomique (visible par un œil normal sans accommoder). Pour cela on procède à un réglage par auto-collimation :

  1. Éclairez le réticule en basculant le petit bouton situé sur le côté de la lunette ;
  2. Réglez le tirage de l'oculaire pour voir nettement sans accommoder le réticule. Ce dernier est alors dans le plan focal de l'oculaire.
  3. Appliquez un miroir plan contre l'objectif et réglez le tirage de l'objectif, par rotation du bouton moleté, pour que le réticule image soit dans le même plan que le réticule objet : on voit alors deux réticules aussi net l'un que l'autre. Le réticule se trouve alors dans le plan focal de l'objectif. La lunette est réglée !

Réglage du collimateur

Collimateur
Le collimateur

Un collimateur sert à collimater un faisceau c'est-à-dire, à produire un faisceau de rayons parallèles. Le réglage du collimateur consiste à faire en sorte que la fente source se situe dans le plan focal objet de la lentille du collimateur. On procède de la façon suivante :

  1. Amenez une lampe spectrale tout près de la fente du collimateur. Pensez à ouvrir la fente d'entrée (pas trop tout de même !).
  2. Visez le collimateur avec la lunette en confondant à peu près leurs axes optiques respectifs. Tournez la bague du collimateur de façon à voir une image nette de la fente. l'image de la fente est à l'infini. Le collimateur est réglé !

Avant de continuer, faites venir l'enseignant pour contrôler les réglages.

Mesure de A

Pour mesurer l'angle au sommet du prisme, procédez comme suit :

  1. Une fois le prisme sur la plateforme n'y touchez plus. Fixez la plateforme ; elle ne doit pas tourner pendant cette mesure.
  2. Effectuez une auto-collimation sur une des faces du prisme, autrement dit, dirigez la lunette --réticule éclairé-- en direction d'une face qui par réflexion produira une image du réticule dans le même plan, que le réticule. Faites coïncider le fil vertical du réticule avec son image. Dans ce cas, la face est perpendiculaire à l'axe de la lunette. Repérer l'angle $\alpha_{1}$ sur le vernier (utilisez le réglage fin).
  3. Faites la même chose avec la deuxième face transparente du prisme. Mesurez $\alpha_{2}$.
  4. Faites un schéma et déduire l'angle $A$ en fonction de $\alpha_1$ et $\alpha_2$.
  5. Calculez $A$ ainsi que son incertitude.

Mesure de $\boldsymbol{D_{\rm m}}$

Pour mesurer la déviation minimale, effectuez les opérations suivantes.

  1. Éteignez le réticule et ouvrez la fente du collimateur. Tournez le plateau de façon à ce que le faisceau entrant ne subisse pas de réflexion totale à l'intérieur du prisme. Cherchez à l'œil nu le faisceau émergeant. Vous devez observez un spectre discontinu.
  2. Visualisez le spectre de la source à l'aide de la lunette et choisissez une raie spectrale. Ajuster la largeur de la fente de façon à obtenir une précision maximale.
    Lampe spectralelongueur d'onde (nm)couleur
    Mercure578,0doublet jaune
    546,0vert
    435,8bleu-indigo
    404,6violet
    Cadmium643,8rouge
    508,5vert
    480,0bleu
    467,8bleu
    En tournant le plateau (et donc en modifiant l'angle d'incidence), remarquez que le faisceau émergeant tourne d'un côté puis rebrousse chemin ; à ce moment précis, la déviation est minimum. Lisez l'angle $\alpha$ correspondant à ce minimum. Notez que la précision de la mesure dépend --entre autre-- de la finesse des raies.
  3. S'il vous reste moins de 30 minutes : Après avoir collecté les valeurs de $\alpha$ pour trois raies, enlever le prisme et viser le collimateur. Mesurer la valeur $\alpha_0$ correspondant au trajet direct. On a alors $D_m=|\alpha-\alpha_0|$.
  4. S'il vous reste plus de 30 minutes : Répétez l'opération 2 après avoir tourné la platine de façon à échanger les rôles des faces d'entré d'entrée et de sortie. Lisez les angles $\alpha'$ correspondant au minimum de déviation. On a alors \[2D_{\rm m}=|\alpha-\alpha'|\]
Mesure de la déviation minimale
Mesure de $D_{\rm m}

Faites la mesure de $D_{\rm m}$ pour différentes longueurs d'onde (au moins trois). On fera une estimation de l'incertitude sur $D_{\rm m}$ (type B). Dans Regressi, remplissez un tableau avec les grandeurs $A$, $\lambda$ et $D_{\rm m}$. Créez la grandeur calculée $n$. Complétez le tableau en ajoutant les incertitudes (Cliquez sur Incertitudes pour faire apparaître les colonnes relatives aux incertitudes.)

Loi de dispersion

Dans le domaine visible, on prévoit que l'indice suit la loi de Cauchy, c'est-à-dire \[ n(\lambda)=C_{1}+\frac{C_{2}}{\lambda^{2}} \qquad\text{avec}\qquad C_2>0 \] On cherche à vérifier cette loi. À l'aide d'une régression, vérifiez la validité cette loi (n'oubliez pas d'afficher les barres d'erreur sur le graphique). Vos mesures sont-ils en accord avec la théorie ? si oui, en déduire les paramètres $C_{1}$ et $C_{2}$.


Matériel

  • Un goniomètre ;
  • un prisme ;
  • une lampe spectrale sur un support avec son alim ;
  • un miroir plan.