TP-cours : circuit RLC en régime libre et régime forcé

Objectifs :

Etudier le circuit RLC libre c'est à dire la décharge d'un condensateur dans un dipôle bobine-conducteur ohmique ;
Découvrir l'existence des différents régimes ;
Etudier le régime forcé d'un circuit RLC : c'est à dire sa réponse fréquentielle (voire temporelle) lorsqu'il est soumis à une tension alternative.
Simuler un filtre passe-bas à l'aide d'un dipôle RC

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Décharge d'un condensateur dans un ensemble bobine-conducteur ohmique

Visionnez la vidéo ci-dessous, elle traite du problème théorique du circuit RLC en régime libre, notamment en présentant l'analogie électromécanique qui rapproche le circuit RLC d'un problème de solide-ressort avec frottements.

Téléchargez ici le pdf support de cette vidéo

Réalisation du montage

Rendez-vous à l'adresse http://www.multisim.com et construisez un circuit RLC série avec les composants suivants :

$C = 0,1\,\mathrm{\mu\,F}$ ;
$L = 1\,\mathrm{H}$ ;
$R = 100\,\Omega$ ;

Comme nous voulons simuler la décharge du condensateur dans les autres dipôles du circuit, il faut indiquer au logiciel que celui-ci est préalablement chargé. Il faut donc rentrer une valeur de tension pour le condensateur chargé.

Et dire au logiciel de prendre en compte la valeur initial des composants :

Existence de différents régimes : influence de la résistance du conducteur ohmique

Simulation

Réglez le logiciel pour observer la tension aux bornes du condensateur.
Réglez la valeur du temps d'acquisition : dans "Simulation settings" on règlera le "End time" à la valeur $0,015\,\mathrm{s}$.
Observez et notez l’allure de la courbe $u_C(t)$ pour les différentes valeurs de la résistance $R$ suivantes :
$R = 100\,;\,1 000\,;\,3 000\,;\,6 000\;\text{et}\;10\,000\,\Omega$.

Question

Dans un tableau, rassemblez les valeurs de $R$, nommez le régime obtenu et donnez la valeur de $Q$, facteur de qualité du montage.
Pour un régime pseudo-périodique (avec des oscillations donc, prenez $R=100\,\Omega$), changez la valeur de $C$ pour observer son influence sur le phénomène. Notez vos observations
Faites de même en changeant la valeur de $L$. Notez vos observations.

Etude du régime critique

A l'aide de la simulation, pour $C = 0,1\,\mathrm{\mu\,F}$ et $L = 1\,\mathrm{H}$, trouvez le régime critique.
Notez la résistance critique, calculer le facteur de qualité. Comparer-le avec celui attendu théoriquement.
Retrouvez le en utilisant le fait que, pour le régime critique : \begin{equation*} \text{à}\,t=\dfrac{1}{\lambda},\, u_C = 2\,E\,e^{-1} \end{equation*} où $E$ est la tension initiale aux bornes du condensateur.

Etude du régime forcé

Un peu de théorie

Le résistor, la bobine et le condensateur ne se comportent pas de la même façon selon la fréquence imposée. Leurs impédances (ce nom signifie que tous les dipôles, en régime sinusoïdal, se comportent comme une résistance) décrivent ce comportement ($\omega=2\pi\,f$) : \[Z_R=R \qquad Z_L=j\,L\omega \quad\text{et}\quad Z_C=\cfrac{1}{j\,C\omega}\]

Ainsi, la résistance ne dépend pas de la fréquence : $u=R\,i$.

Aux basses fréquences, la bobine présente une faible impédance (résistance) : comme un interrupteur fermé (un fil), l'intensité circule facilement et la tension est proche de zéro.
Aux basses fréquences, le condensateur présente une très forte impédance (résistance) : comme un interrupteur ouvert, l'intensité circule très mal et est proche de zéro.

À haute fréquence, la bobine présente une forte impédance : comme un interrupteur ouvert, l'intensité circule très mal et est proche de zéro.
À haute fréquence, le condensateur présente une très faible impédance : comme un interrupteur fermé (un fil), l'intensité circule facilement et la tension est proche de zéro.

Quand on associe ces composants de base, on peut combiner les différents comportements pour réaliser des filtres : passe bas, passe haut, passe bande, réjecteur de bande.
Le but de ces filtres est de ne conserver du signal d'entrée que ce qui est jugé intéressant.

Dans la suite de ce TP-cours, on étudie la réponse d'un circuit RLC lorsqu'on le soumet à une tension alternative et qu'on mesure la tension aux bornes de la résistance (ch. schéma ci-dessous).

Si on appelle $e$ la tension aux bornes du générateur, $i$ l'intensité qui circule dans le circuit, l'impédance du circuit est la somme des impédances des trois composants en série : \[Z=\cfrac{e}{i}=R+j(L\omega-1/C\omega)\]

En conséquence, \[u_R=R\,i=\cfrac{R}{Z}\,e=\cfrac{jRC\omega}{(1-LC\omega^2)+jRC\omega}\,e\] En module, \[U_R=\cfrac{RC\omega}{\sqrt{(1-LC\omega^2)^2+(RC\omega)^2}}\,E\] En étudiant les variations de $U_R$ en fonction de la pulsation, on s'aperçoit que $U_R$ tend vers zéro quand $\omega\to 0$ et $\omega\to\infty$. $U_R$ est maximal pour la pulsation de résonance $\omega_0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}}$. Il s'agit d'un filtre passe bande.

Réalisation du montage

Rendez-vous à l'adresse http://www.multisim.com, puis construisez le circuit RLC série avec les composants suivants :

$C = 10\,\mathrm{nF}$;
$L = 1\,\mathrm{mH}$;
$R = 100\,\Omega$;
deux sources sinusoïdales en série d'amplitude $1\,\mathrm{V}$ et de fréquences respectives $50\,\mathrm{kHz}$ et $1\,\mathrm{MHz}$.

On désire visualiser la tension d'entrée (issue de l'association des sources) et la tension aux bornes de la résistance. Placez alors les sondes de tension aux endroits adéquats.

Analyse fréquentielle

Simulation

On réalise une analyse fréquentielle (AC SWEEP), c'est-à-dire qu'on veut analyser le comportement du circuit quand la fréquence varie (et non le temps).

Fixer la plage de fréquences entre 10 kHz et 10 MHz.
Lancer l'analyse.
N'afficher que la tension aux bornes de la résistance.
Si la réponse fréquentielle n'est pas bien lissée (elle a un aspect de lignes brisées), augmenter la résolution en jouant sur le nombre de points par décade ("Points per Decade").

Questions

Quel type de filtre est réalisé ?
Quelle est la valeur de la fréquence centrale $f_0$ ? Comparer avec la valeur théorique $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
Quelles sont les fréquences $f_2$ et $f_1$ qui correspondent à une amplitude maximum divisée par $\sqrt{2}$ ?
Calculer $\Delta{f}=f_2-f_1$ la bande passante du circuit.
En déduire le facteur de qualité $Q=f_0/\Delta{f}$ et comparer à la valeur théorique $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$.

Mesurer la nouvelle bande passante lorsque la résistance est divisée par deux. Conclure.

POUR ALLER PLUS LOIN

Analyse temporelle

Simulation

On veut visualiser à quoi ressemble les signaux dans le temps (Transient).

Régler le temps d'analyse sur 0,2 ms. Régler le Maximum time step en mode "Manual" à $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$.
Afficher les tensions d'entrée et aux bornes de la résistance.
Modifier l'échelle horizontale (Zoomer avec la molette de la souris quand vous êtes sur l'axe horizontal) pour n'afficher que quelques périodes (entre 0,1ms et 0,11ms par exemple).
Augmenter éventuellement la précision de l'analyseur (diminuer le Time Step) si les tensions ne sont pas bien lissées (si elles ont un aspect de lignes brisées).

Remarque : si on observe les tensions à un temps proche de zéro, on s'aperçoit qu'il existe un régime transitoire, qui disparaît rapidement. L'objet de ce TP n'est pas d'étudier ce régime transitoire et il est donc nécessaire de ne visualiser les tensions que lorsque ce régime a totalement disparu.

Questions

À quoi ressemblent la tension d'entrée et la tension aux bornes de la résistance ? Expliquer ce qui s'est passé.
Calculer la valeur de capacité qui permet d'obtenir une fréquence centrale adaptée à la récupération du signal de fréquence la plus élevée uniquement.
Visualiser les mêmes tensions avec cette nouvelle valeur de $C$ et conclure.

Exercice : filtre passe bas

On conserve le circuit précédent mais on supprime la bobine.

Quel est le type de filtre réalisé aux bornes de la résistance ? Et aux bornes du condensateur ? Simuler pour comprendre.

La pulsation de coupure vaut $\omega_c=1/RC$.
Choisir la pulsation de coupure la plus adéquate permettant de séparer les deux fréquences présentes dans la tension d'entrée (sachant que $R=100\,\mathrm{\Omega}$).
En déduire la valeur à donner au condensateur.
Quelle fréquence récupère-t-on aux bornes du condensateur? et aux bornes de la résistance ?
Simuler pour comprendre: visualiser chacune des deux tensions pour confirmer vos hypothèses et conclure.

Réexprimer le module $U_R$ en fonction de $E$ en tenant compte de $L=0$.
Étudier le comportement de $U_R$ à basse et haute fréquence.
Retrouver l'expression de la fréquence de coupure, sachant qu'elle est obtenue quand le gain maximal $\left(\dfrac{U_{R_{\mathrm{max}}}}{E}\right)$ a été divisé par $\sqrt{2}$.