Foire Aux Questions
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Ça veut dire quoi soigner les mesures
?
Les appareils de mesure munis de calibres doivent être réglés pour obtenir le maximum de précision : depuis longtemps, vous savez que sur un voltmètre, un changement du calibre de l’appareil change la précision de la mesure.
Pour avoir le maximum de précision sur une mesure, on choisit le calibre immédiatement supérieur à la valeur que l’on cherche à mesurer.
Si on ne connaît pas l’ordre de grandeur de ce que l’on mesure, on choisit le plus grand calibre pour commencer la mesure, puis on affine le réglage.
Lorsque l'on est confronté à un phénomène périodique et que l'on cherche à mesurer la période du phénomène (longueur d'onde, période temporelle,...), ayez le réflex de mesurer l'écart sur $N$ périodes. En divisant le résultat par $N$ on divise du même coup l'incertitude par $N$.
Comment écrire le résultat d'une mesure ?
Dans une valeur numérique, le premier chiffre non-nul de gauche désigne le chiffre le plus significatif et le dernier chiffre de droite le chiffre le moins significatif. Les nombres 1230, 1,230 et 0,001230 ont ainsi tous quatre chiffres significatifs. Le nombre de chiffres significatifs rend compte de la précision du résultat et permet donc de se faire une idée de l’incertitude, même quand cette dernière n’est pas indiquée. Par exemple, écrire \[c = (3,00278\pm 0,04)\times10^{8}\,\mathrm{m.s^{-1}}\] n'a aucun sens, puisque l'incertitude indique que nous n'avons pas d'information au delà de la deuxième décimale. On écrira plutôt \[c = (3,00\pm 0,04)\times10^{8}\,\mathrm{m.s^{-1}}\] Enfin, rigoureusement une incertitude est associée à un niveau de confiance. Il est d'usage de donner les incertitudes avec un niveau de confiance de 95%.
En résuméOn calcule l'incertitude et on l'arrondi à un chiffre. On ajuste la valeur de la mesure $x$ de manière à ce que son dernier chiffre significatif soit à la même position que celui de l'incertitude. Le résultat s'écrit \[x=(\overline{x}\pm\Delta x)\times 10^n\;\text{unité}\]
Comment estimer l'incertitude d'une grandeur expérimentale ?
Il arrive souvent que l'on doive évaluer une incertitude à partir d'une unique mesure $x$. Il faut dans ce cas estimer l'écart-type (incertitude-type) à partir des informations disponibles (notices technique, graduation, ...). On dit que l'on fait une évaluation de type B. Par soucis de simplicité on appliquera la méthode suivante
- On évalue l'intervalle de tolérance $\Delta$.
- L'incertitude-type (écart-type) vaut \[\sigma=\frac{\Delta}{\sqrt{12}}\]
- L'incertitude à niveau de confiance de 95% vaut \[\Delta x=2\sigma\]
Exemple 1 : On souhaite déterminer par autocollimation la focale d’une lentille convergente. La plage de distance qui permet d’obtenir l’image nette de l’objet par le miroir est \( 9,8\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 11,2\,\mathrm{cm}\). Comme valeur vraie, on prendra la valeur moyenne de la plage: \[f'= \dfrac{11,2+9,8}{2} = 10,5\,\mathrm{cm}\] Pour calculer l’incertitude, on effectue \[\Delta f=2\sigma =2\times \dfrac{11,2-9,8}{\sqrt{12}} = 0,8\,\mathrm{cm}\]
Exemple 2 : On mesure une tension de \(4,32\,\mathrm{V}\) avec un voltmètre sur le calibre \(20\,\mathrm{V}\), la résolution est de \(10\,\mathrm{mV}\). La précision donnée par le constructeur indique \(\Delta_c = \pm(0,5\%\,\text{valeur lue} + 1\,\text{digit})\). L’incertitude-type vaut donc \[\sigma = \dfrac{2\times[(0,5\times 4,32)/100+0,01]}{\sqrt{12}} = 0,02\,\mathrm{V}\] Finalement on obtient une incertitude de $2\sigma=0,04\;\mathrm{V}$.
Comment déterminer une incertitude par la méthode de Student ?
Supposons que l'on réalise $n$ mesures indépendantes d'une grandeur $x$. En présence d'erreurs aléatoires et si l'on fait tendre $n\to\infty$, la distribution des résultats a l'allure d'une gaussienne centrée en $\overline{x}$ (la valeur moyenne) et d'écart-type $\sigma$. Dans la pratique, $n$ est fini. On montre alors que la meilleure estimation de la valeur moyenne vaut \[\overline{x}= \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\] L'incertitude sur la moyenne vaut, avec un niveau de confiance de 95% : \[\Delta\overline{x}=\frac{t\,\sigma_{n-1}}{\sqrt{n}} \qquad\text{avec}\qquad \sigma_{n-1}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2} \] $t$ désigne le coefficient de student et vaut environ 2 pour les grands échantillons. Pour petits échantillons de données on utilise la table suivante
| Nombre de mesures | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Coefficient $t$ | 12,7 | 4,3 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,37 | 2,31 | 2,26 |
Exemple : On réalise une série de pesées d’un échantillon de masse $m$ avec une balance électronique. Les résultats sont les suivants :
| Mesures n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $m$ (g) | 22,85 | 22,87 | 22,81 | 22,79 | 22,84 |
La valeur moyenne vaut \[m=\frac{22,85+22,87+22,81+22,79+22,84}{5}=22,83\;\mathrm{g}\] Pour une série de 5 mesures le coefficieint de student vaut $t=2,78$. L'incertitude vaut donc \[\Delta m = 2,78 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{(0,02)^2+(0,04)^2+(0,02)^2+(0,04)^2+(0,01)^2}{5-1}} = 0,04\;\mathrm{g}\] On écira donc \[m=(22,83\pm 0,04)\;\mathrm{g}\]
Comment estimer l'incertitude d'une grandeur calculée ?
Supposons que l'on mesure deux grandeurs $x$ et $y$ et que l'on connaisse une loi physique définissant une nouvelle grandeur $G$ en fonction de $x$ et $y$ : $G=f(x,y)$. Connaissant les incertitudes $\Delta x$ et $\Delta y$ associées aux mesures de $x$ et $y$, il est alors légitime de se demander quelle est l'incertitude associée au calcul de $G$. Si les grandeurs $x$ et $y$ sont indépendantes, on utilise la méthode suivante :
- Différentier la relation $G=f(x,y)$ de façon à écrire $\mathrm{d}G=a\, \mathrm{d}x+ b\,\mathrm{d}y$
- L'incertitude de la mesure vaut \[\Delta G=\sqrt{(a\Delta x)^2 + (b\Delta y)^2}\]
On retiendra les deux cas simples suivants :
- si $G =a\,x + b\,y$ on a $\Delta G = \sqrt{(a\,\Delta x)^2+ (b\,\Delta y)^2}$ ;
- si $G = \mathrm{C^{te}}\,x\times y$ ou $G=\mathrm{C^{te}}\,x/y$ alors on peut montrer que \[\dfrac{\Delta G}{|G|} = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{x}\right)^2+\left(\dfrac{\Delta y}{y}\right)^2}\]
Exemple : On détermine le champ de pesanteur à l'aide de la détermination de la période d'oscillation $T$ d'un pendule simple de longueur $\ell$ via la formule $T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$. On mesure \[\ell=49,5\pm 0,5\;\mathrm{cm} \qquad\text{et}\qquad T=1,40\pm 0,05\;\mathrm{s}\] Que vaut $g$ ?
Ici la loi donnant $g$ est \[g=4\pi^2\,\ell\,T^{-2}=9,97\;\mathrm{m.s^{-2}}\] Par différentiation, on trouve \[\mathrm{d}g=4\pi^2\,T^{-2} \mathrm{d}\ell-8\pi^2\,\ell\,T^{-3} \mathrm{d}T\] On en déduit \[\Delta g = \sqrt{(4\pi^2\,T^{-2}\Delta\ell)^2+(8\pi^2\,\ell\,T^{-3}\Delta T)^2}\] Formule qui prend une forme simple si on pense diviser par $g$ : \[\frac{\Delta g}{g} = \sqrt{\left(\frac{\Delta \ell}{\ell}\right)^2 + \left(\frac{2\Delta T}{T}\right)^2}= \sqrt{\left(\frac{0,5}{49,5}\right)^2 + \left(\frac{2\times 0,05}{1,40}\right)^2}=0,07\] Finalement on calcule $\Delta g=0,7\;\mathrm{m.s^{-2}}$. On écrira donc \[g=10,0\pm 0,7\;\mathrm{m.s^{-2}}\]
Comment faire apparaître les barres d'erreur dans Regressi
Pour afficher les barres d'erreur dans un graphique, il faut tout d'abord renseigner les incertitudes des grandeurs à tracer. Dans le tableau de valeurs, cliquez simplement sur le bouton . Remplissez la colonne des incertitudes. Si vous décidez de négliger les incertiudes d'une des deux grandeurs, il faut impérativement remplir la colonne des incertitudes avec la valeur nulle. Une fois cette opération effectuée, allez dans et cocher afficher les barres d'erreur dans l'onglet graphiques.
Ma valeur est-elle compatible avec la valeur tabulée ?
Lorsque l'on effectue une expérience qui permet de retrouver une grandeur connue (intensité de la pesanteur, chaleur latente de fusion de l'eau ...), on se doit à l'issue de la mesure de confronter la valeur mesurée avec la valeur de référence (on dit aussi valeur tabulée ):
- Si la valeur tabulée se trouve dans l'intervalle $x\pm \Delta x$, alors la mesure est compatible avec la valeur tabulée.
- Sinon il y a désaccord. Il faut alors chercher la cause du désaccord dans une erreur de calcul, ou la présence d'erreurs systématiques (biais). En dernier recours on remettra en cause le modèle.
- Surtout, on ne remet jamais en cause une valeur tabulée !
La loi théorique est-elle vérifiée ?
Nous sommes souvent amener à prendre des mesures afin de vérifier la validité d'une loi. Dans ce cas, on a recourt à un tableur-grapheur (ici nous utilisons le logiciel Regressi) dans lequel on entre des points de mesure puis on réalise une modélisation en choisissant un modèle d'ajustement (linéaire, affine, exponentielle, etc.). Insistons sur le fait que c'est la modélisation théorique qui guide notre choix du modèle d'ajustement.
Comment valider une loi ? A l'issu de l'ajustement, il faut être capable de préciser si la loi est vérifiée. Deux cas se présentent.
- Si les points sont fournis avec les barres d'erreur, il faut vérifier que la courbe modèle passe au voisinage de toutes les barres d'erreur. Si c'est le cas, la loi est validée. Plus exactement, vos données ne permettent pas de réfuter la théorie.
- Si l'on ne dispose pas des barres d'erreur il est possible de calculer l'erreur relative entre le modèle et les points de façon statistique (Regressi le fait). Si cette erreur relative vous semble trop grande compte-tenue de la précision de vos mesures, il y a lieu de remettre en cause le modèle ou de rechercher une erreur systématique.